卷积积分与卷积
一、摘要：
近十年来，由于电子技术和集成电路工艺的飞速发展，电子计算机已为信号的处理提供了条件。信号与系统分析理论应用一直在扩大，它不仅应用于通信、雷达、自动控制、光学、生物电子学、地震勘探等多种领域，而且对社会和自然学科也具有重要的指导意义。
卷积运算是线性时不变系统的一个重要工具，随着信号与系统理论研究的深入，卷积运算得到了更广泛的应用。卷积运算有很多种解法，对于一般无限区间而言，可用定义法直接求解。而本文通过图解法、卷积性质法、简易算法对有限区间卷积积分和卷积和分别进行求解，最后进行了相关的比较。
二、关键词：
信号与系统；卷积；图解法；卷积性质法；简易算法
三、正文：
卷积在信号与系统理论分析中，应用于零状态响应的求解。对连续时间信号的卷积称为卷积积分，定义式为：
?? ?? = ??1 ?? ??2 ????? ???????1(??)???2(??)
?∞∞
对离散时间信号的卷积称为卷积和，定义式为：
∞
?? ?? = ??1 ?? ??2 ????? ???1(??)???2(??)
??=?∞
1、卷积积分的解法
（1）图解法
图解法适合于参与卷积运算的两函数仅以波形形式给出,或者已知函数的波形易于画出的情况。利用图解法能够直接观察到许多抽象关系的具体情况，而且容易确定卷积积分的上、下限，是一种极有效的方法。
1
如果给定??1 ?? 和??2(??)，要求这两个函数的卷积积分?? ?? =??1(??)???2(??),首先要改变自变量，即将??1 ?? 和??2(??)变成??1 ?? 和??2(??)，这时函数图形与原来一样，只是横坐标变为了??，然后再经过以下四个步骤：
（1）反褶，即将??2(??)进行反褶，变为??2(???)；
（2）时移，即将??2(???)时移??，变为??2 ????? =??2[?(?????)]，当??>0时，将??2(???)右移??，而当??<0时，将??2(???)左移??；
（3）相乘，即将??1 ?? 与??2 ????? 相乘得到??1 ?? ??2 ????? ；
（4）积分，即将乘积??1 ?? ??2 ????? 进行积分，积分的关键是确定积分限。一般是将??1 ?? ??2 ????? 不等于零的区间作为上下限，而当取不同的值时，不为零的区间有所变化，因此要分成不同的区间来求卷积。
例1、已知??1 ?? 和??2(??)的波形如图1-1所示，求?? ?? =??1(??)???2(??)。
??1 ?? [??1 ?? ] ??2 ?? [??2 ?? ] 2 1 0 1 2 3 4 5 ??[??]
2 1 0 1 2 3 4 5 ??[??]
图1-1
解：（1）变量代换，将变量??1 ?? 和??2(??)变成??1 ?? 和??2(??)，此时波形不变；
（2）将??2(??)进行反褶，变为??2(???)，图1-2； （3）时移，即将??2(???)时移??，图1-3；
（4）相乘，即将??1 ?? 与??2 ????? 相乘得到??1 ?? ??2 ????? ，图1-4～8；
??2 ????? ??2 ??? 2 2 1 ???3 -3 -2 -1 0 1 图1-2
2 ??
0 1 2 ???1 图1-3
??
1
2
??<4 ??1 ?? 2 1 ?? 4
?? 2 ??2 ????? 1 0 1 2 3 4 5 ???3 ???1 图1-4
0 1 ???3 图1-5
5
?? 2 1 6
2 1 0 1 2 3 4 5 ???3 ???1 图1-6
0 1 2 3 4 5 6 ???3 图1-7
???1
??>7 ??1 ?? ??2 ????? 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 ???3 ???1 图1-8
??
（5）积分，即将乘积??1 ?? ??2 ????? 进行积分，图1-9；
∞
当??<4时，?? ?? = ?? ?? ??2 ????? ????=0； ?∞1
∞???1
当4
当6
3
∞4
当??>7时，?? ?? = ?? ?? ??2 ????? ????=0。 ?∞1
?? ?? ∞
2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ??
图1-9
（2）卷积积分的简易算法
设??1 ?? 的时限为??1
∞，??1）,（??1，?????1）,（?????2，?????1）,（?????2，??2）, （??2,+∞）。具体积分计算如下所示：
??1
?? ?? = ?? ?? ??2 ????? ????=0 ??
?? ?? = ??
?????1
1
??1 ?? ??2 ????? ???? ??1+??1
1
?? ?? = ??1 ?? ??2 ????? ???? ??1+??2
2
2 ?? ?? = ?? ?? ??2 ????? ???? ??2+??1
2
?????
??
?? ?? = ??
+∞
2
??1 ?? ??2 ????? ????=0 ??>??2+??2；
如例1中，??1 ?? 的时限为17，其对应的积分区间分别（?∞，1）,（1，???3）,（???4，???3）,（???4，3）,（3,+∞）。代入以上各式得：
?? ?? = ?? ?? ??2 ????? ????=0 ??<4 ?∞1?? ?? = 1
???3∞
2????=2(???4) 4
?? ?? = 2????=2 5
4
???3
?? ?? = 2????=2(7???) 6
+∞?? ?? = ??1 ?? ??2 ????? ????=0 ??>7 3
3
此结果与图解法相同，当省去了画图，方便了许多。 （3）卷积性质法
若? ??1 ?? =?1(??), ? ??2 ?? =?2(??),则
? ??1 ?? ???2 ?? =?1(??)?2(??)
然后再求拉普拉斯逆变换。
如例1中，??1 ?? =2[?? ???3 ???(???4)], ??2 ?? =?? ???1 ???(???3) 有
?1 ?? =（???3??????4??）, ?2 ?? =（?????????3??）
??
??
2
1
得
? ??1 ?? ???2 ?? =?1 ?? ?2 ?? =
2?3??1?4?? ??? ???????????3??
????
2?4??
=2(??????5??????6??+???7??) ??再求逆变换
??1 ?? ???2 ?? = ? ?1 ?? ?2 ??
=2 ???4 ?? ???4 ? ???5 ?? ???5 ? ???6 ?? ???6 + ???7 ?? ???7
=2 ???4 [?? ???4 ??? ???5
+ ?? ???4 ??? ???5 ]+ ???7 [?? ???6 ??? ???7
显然，结果与上面两种相同。
2、卷积和的解法
（1）图解法：
卷积和与卷积积分在本质上是一样的，因为积分运算实际上也是一种求和运算，但两者在求解方法上还是有不同之处。卷积和也可以用图解法求解，但在操作上显得比较繁锁。
例2：已知离散信号??1 ?? 和??2(??)，求卷积和?? ?? =??1(??)???2(??)。
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信号与系统卷积介绍
