数学分析专题研究学习内容与学习目标

数学分析专题研究学习内容与学习目标

数学分析专题研究是数学与应用数学专业(本科）的一门必课，学分4分，共72学时，第一学期开设。

第一章集合与关系（8学时）

（一） 学习内容

本章内容作为中学数学的基础

1．集合的概念，包括集合，元素，包含，子集，相等。

集合的运算，包括并、交、补。

2．关系与映射

笛卡尔积，二元关系，运算。

映射，单射，满射，双射

3．等价关系，商集。

4．序关系，偏序集，有界，极大元，全序集，良序集。

5．基数，等势集，Bernstein定理。

重点：集合，关系，映射，运算，等价关系，序关系。

难点：商集、基数的概念。

（二）学习目标

1．理解集合的概念，熟练掌握有关的运算。

2．理解笛卡尔积，二元关系，运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，理解有关定理，掌握有关的例题。

3．理解等价关系及序关系，了解商集的概念，知道良序集；理解有关定理，掌握有关的例题。

4．知道等势、基数等概念，知道Bernstein定理。

第二章数集（20学时）

（一）学习内容

1．自然数集

有限集、自然数、加法、乘法、结合律、交换律，乘法对加法的分配律，阿基米德原理，最小数原理，数学归纳法。

2．整数集

从自然数集到整数集的扩充，整数的运算，算律，整数集的可列性。

3．有理数集

从整数集到有理数集的扩充，有理数的运算及算律，有理数的可列性与稠密性。有理数的循环小数表示。

4．实数集

是无理数，实数的四则运算，算律，实数集的连续性。

5．复数集

复数的定义与运算，代数基本定理，复数集可排序；复数域不是有序域。

重点：各种数集的定义与运算，数集扩充的目的与方法。

难点：数集扩充的方法。

（二）学习目标

1．理解数系扩充的基本思想，掌握数系扩充的基本方法。

2．理解有限集、自然数、自然数集的定义，熟练掌握自然数集的加法、乘法运算及算律。

3．理解从自然数集到整数集的扩充，了解序结构，代数结构，掌握整数的运算及算律，了解整数集的可列性。

4．了解从整数集到有理数集的扩充，了解序结构，代数结构，掌握有理数的运算及算律，了解有理数的可列性与稠密性，知道有理数的循环小数表示。

5．知道是无理数，会实数的四则运算，算律，理解实数集的连续性。了解无限集（可列集）的概念。

6．各种数系的序结构，代数结构，知道复数域不是有序域。

第三章函数（12学时）

（一）学习内容

1．函数的概念与运算，四则运算，复合运算，反函数，函数方程。

2．函数的连续与可微，连续的定义，左、右连续，导数与微分，微分的几何意义，近似计算（微分应用），微分学基本定理与应用。

3．积分上限函数与和函数的概念利用牛顿-莱布尼茨公式计算某些面积与某些体积，利用和函数计某些函数值。

4．函数及其性质

初等函数的概念，初等性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。

超越数，化圆为方的问题，超越函数，基本初等函数的超越性。

（二）学习目标

1．理解函数的基本概念，熟练掌握函数的运算（四则、复合），理解反函数的概念，掌握函数方程解法。

2．理解函数的分析性质（函数的连续与可微，连续的定义，左、右连续，导数与微分），了解微分的几何意义，熟练掌握函数导数的计算，熟练掌握微分学基本定理与应用并能运用这些性质研究初等函数。

3．理解积分上限函数和和函数的概念，能够利用牛顿——莱布尼茨公式计算某些面积和体积，能够运用和函数计算某些函数的函数值。

4．理解基本初等函数的概念及初等性质。

理解超越数、超越函数的概念，会证明某些数是代数数，某些函数是代数函数。

第四章指数函数与对数函数（8学时）

（一）学习内容

1．指数函数

指数函数的公理化定义，指数函数的级数表示

对数函数与指数函数的相关性质

2．对数函数

对数函数的公理化定义，对数函数的积分定义、级数定义

（二）学习目标

1．了解指数函数与对数函数的各种定义

2．掌握指数函数与对数函数的相关性质

第五章三角函数（14学时）

（一）学习内容

1．三角函数的公理化定义

2．三角函数的级数定义

3．三角函数的借助积分的定义

4．三角函数的初等性质

5．角函数的分析性质

（二）学习目标

1．了解三角函数的有关定义

2．掌握三角函数的有关性质

第六章极值问题（10学时）

（一）学习内容

1．凸函数与极值：

凸集

凸函数

基本初等函数的凸性

凸函数在有界凸多面体上的极值

2．一般函数的极值问题

一元可微函数的极值

二元可微函数的极值

条件极值

（二）学习目标

1．理解凸分析的基本概念，了解凸分析的理论，熟练掌握利用凸函数理论求解极值问题和不等式的证明方法。

2．理解一般函数求极值的理论，掌握求解一般极值问题的方法。