专题36 圆锥曲线的综合应用(解析版)

第九章 解析几何

专题36 圆锥曲线的综合应用

考点1 轨迹与轨迹方程

x2y221. 【2020年高考天津卷7】设双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)，过抛物线y?4x的焦点和点(0,b)ab的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ）

x2y2A．??1

44【答案】D 【解析】

y2B．x??1

42x2C．?y2?1

4D．x2?y2?1

y?1，即直线的斜率为?b， bbbb又双曲线的渐近线的方程为y??x，所以?b??，?b???1，因为a?0,b?0，解得a?1,b?1．

aaa由题可知，抛物线的焦点为?1,0?，所以直线l的方程为x?故选D．

考点2 圆锥曲线中的范围、最值问题 年 份 2016高考新课标1卷 考 向 圆锥曲线中的范围 题型 解答题 难度 一般 分值 12分 x22x22

1. 【2016高考浙江】已知椭圆C1：2+y=1(m>1)与双曲线C2：2–y=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为

mnC1，C2的离心率，则（ ）

A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m1 D．m

m2?1n2?111??(1?)(1?)，代入试题分析：由题意知m?1?n?1，即m?n?2，(e1e2)?2222mnmn22222m2?n2?2，得m?n,e1e2?1．故选A．

x222. 【2020年高考浙江卷21】如图，已知椭圆C1:抛物线C2:y?2px(p?0)，点A是椭圆C1?y2?1，

2与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若p?1，求抛物线C2的焦点坐标； 16（Ⅰ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 【答案】（Ⅰ）(110,0)； （Ⅰ）3240【解析】（Ⅰ）当p?1112时，C2的方程为y?x，故抛物线C2的焦点坐标为(,0)；

32168（Ⅰ）设A?x1,y1?,B?x2,y2?,M?x0,y0?,l:x??y?m

?x2?2y2?2??2??2?y2?2?my?m2?2?0 由??x??y?m?y1?y2??2?m??m2m,y?,x??y?m? 0002222??2??2??由M在抛物线上，∴

?2m2?2???224pm?2m???4p 222??2???y2?2px?y2?2p(?y?m)?y2?2p?y?2pm?0 ??x??y?m?y1?y0?2p??x1?x0??y1?m??y0?m?2p?2?2m

2m?x1?2p?2?2m?2??2x2?y2?1?x2?4px?2,即x2?4px?2?0 由{2y2?2px?4p?16p2?8?x1???2p?4p2?2 21??28p2??2p?4p?2?2p??2m??2p???8p?16p 222???22∴4p2?2?18p，p?2110，p?， 16040102105∴p的最大值为，此时A(,)．

40553. 【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆x?y?2x?15?0的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. （I）证明EA?EB为定值,并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

22x2y2??1（y?0）【答案】（Ⅰ）（II）[12,83) 43【解析】：（Ⅰ）因为|AD|?|AC|,EB//AC,故?EBD??ACD??ADC, 所以|EB|?|ED|,故|EA|?|EB|?|EA|?|ED|?|AD|.

又圆A的标准方程为(x?1)?y?16,从而|AD|?4,所以|EA|?|EB|?4. 由题设得A(?1,0),B(1,0),|AB|?2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：

22x2y2??1（y?0）. 43（Ⅰ）当l与x轴不垂直时,设l的方程为y?k(x?1)(k?0),M(x1,y1),N(x2,y2).

?y?k(x?1)?2222由?x2y2得(4k?3)x?8kx?4k?12?0.

?1??3?48k24k2?12则x1?x2?,x1x2?. 224k?34k?3