（2）解：①∵AC=3，BC=4，∴AB=5．sinB=； ②如图所示：
由轴对称性质得AA1=2，BB1=8，高是4， ∴
=
=20．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等式的性质，全等三角形的判定与性质． 18．（2014年福建福州）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级，75≤x≤85为B级，60≤x≤75为C级，x＜60为D级．现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生，α= %； （2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为 度；
（4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？ 分析：（1）根据B级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用A级的人数除以总数即可求出a；
（2）用抽取的总人数减去A、B、D的人数，求出C级的人数，从而补全统计图；
（3）用360度乘以C级所占的百分比即可求出扇形统计图中C级对应的圆心角的度数； （4）用D级所占的百分比乘以该校的总人数，即可得出该校D级的学生数． 解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生数是：
=50（人），a=
×100%=24%；
故答案为：50，24；
（2）等级为C的人数是：50﹣12﹣24﹣4=10（人）， 补图如下：
（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为故答案为：72；
（4）根据题意得：2000×
=160（人），
×360°=72°；
答：该校D级学生有160人．
点评：此题考查了是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读
懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 19．（2014年福建福州）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元． （1）求A，B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？ 分析：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，根据关系式列出二元一次方程组． （2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件，根据关系式列出二元一次不等式方程组．求解再比较两种方案． 解：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元， 依题意，得
，解得
．
答：A商品每件20元，B商品每件50元．
（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件
解得5≤a≤6
根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．
方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10﹣5）=350元； 方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10﹣6）=320元； ∵350＞320
∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．
答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低． 点评：此题主要考查二元一次方程组及二元一次不等式方程组的应用，根据题意得出关系式是解题关键． 20．（2014年福建福州）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆． （1）求BC的长； （2）求⊙O的半径．
分析：（1）根据题意得出AE的长，进而得出BE=AE，再利用tan∠ACB=
，求出EC的
长即可；
（2）首先得出AC的长，再利用圆周角定理得出∠D=∠M=60°，进而求出AM的长，即可得出答案． 解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴∠AEB=∠AEC=90°，
在Rt△ABE中，∵sinB=，∴AE=ABsinB=3sin45°=3×=3，
∵∠B=45°，∴∠BAE=45°，∴BE=AE=3， 在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=∴EC=
=
=
， =
，∴BC=BE+EC=3+
；
（2）连接AO并延长到⊙O上一点M，连接CM， 由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=， ∴AC=2
，∵∠D=∠M=60°，∴sin60°=
=
=
，
解得：AM=4，∴⊙O的半径为2．
点评： 此题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数关系应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键． 21．（2014年福建福州）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒． （1）当t=秒时，则OP= 1 ，S△ABP= ；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ?BP=3．
分析：（1）如答图1所示，作辅助线，利用三角函数或勾股定理求解； （2）当△ABP是直角三角形时，有三种情形，需要分类讨论；
（3）如答图4所示，作辅助线，构造一对相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似关系证明结论．
（1）解：当t=秒时，OP=2t=2×=1． 如答图1，过点P作PD⊥AB于点D． 在Rt△POD中，PD=OP?sin60°=1×
=
，∴S△ABP=AB?PD=×（2+1）×
=
．
（2）解：当△ABP是直角三角形时，
①若∠A=90°．∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，∴∠A≠90°，故此种情形不存在； ②若∠B=90°，如答图2所示：
∵∠BOC=60°，∴∠BPO=30°， ∴OP=2OB=2，又OP=2t，∴t=1； ③若∠APB=90°，如答图3所示：
过点P作PD⊥AB于点D，则OD=OP?cos30°=t，PD=OP?sin60°=∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB﹣OD=1﹣t．
222
在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA+PB=AB
2222
∴（AD+PD）+（BD+PD）=AB2，
22222
即[（2+t）+（t）]+[（1﹣t）+（t）]=3 解方程得：t=
或t=
（负值舍去），∴t=
．
t，
．
综上所述，当△ABP是直角三角形时，t=1或t=
（3）证明：如答图4，过点O作OE∥AP，交PB于点E， 则有
，∴PE=PB．
∵AP=AB，∴∠APB=∠B，∵OE∥AP，∴∠OEB=∠APB， ∴∠OEB=∠B，∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°． ∵AQ∥PB，∴∠OAQ+∠B=180°，∴∠OAQ=∠3；
∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，∴∠1=∠2； ∴△OAQ∽△PBO，∴
，即
，化简得：AQ?PB=3．
点评：本题是运动型综合题，考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程等多个知识点．第（2）问中，解题关键在于分类讨论思想的运用；第（3）问中，解题关键是构造相似三角形，本问有多种解法，可探究尝试．
22．（2014年福建福州）如图，抛物线y=（x﹣3）﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；
（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．
2
分析： （1）根据二次函数性质，求出点A、B、D的坐标；
（2）如何证明∠AEO=∠ADC？如答图1所示，我们观察到在△EFH与△ADF中：
∠EHF=90°，有一对对顶角相等；因此只需证明∠EAD=90°即可，即△ADE为直角三角形，
由此我们联想到勾股定理的逆定理．分别求出△ADE三边的长度，再利用勾股定理的逆定理证明它是直角三角形，由此问题解决；
（3）依题意画出图形，如答图2所示．由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得222
PQ=EP﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP最小．利用二次函数性质求出2
EP最小时点P的坐标，并进而求出点Q的坐标．
（1）解：顶点D的坐标为（3，﹣1）．令y=0，得（x﹣3）﹣1=0，
解得：x1=3+，x2=3﹣，
∵点A在点B的左侧，∴A（3﹣，0），B（3+，0）．
（2）证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3．
2
令x=0，得y=，∴C（0，）．∴CG=OC+OG=+1=，∴tan∠DCG=． 设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG． ∴tan∠EOM=tan∠DCG=
）=
．
=，解得EM=2，∴DE=EM+DM=3．
在Rt△AEM中，AM=，EM=2，由勾股定理得：AE=； 在Rt△ADM中，AM=，DM=1，由勾股定理得：AD=．
222
∵AE+AD=6+3=9=DE，∴△ADE为直角三角形，∠EAD=90°． 设AE交CD于点F，
∵∠AEO+∠EFH=90°，∠ADC+AFD=90°，∠EFH=∠AFD（对顶角相等）， ∴∠AEO=∠ADC．
（3）解：依题意画出图形，如答图2所示：
22
由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ=EP﹣1，
2
要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP最小．
222
设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP=（ ）+（y﹣2）． ∵y=（x﹣3）﹣1，
∴（x﹣3）=2y+2．
222∴EP=2y+2+（y﹣2）=（y﹣1）+5 当y=1时，EP2有最小值，最小值为5．
将y=1代入y=（x﹣3）﹣1，得（x﹣3）﹣1=1， 解得：x1=1，x2=5．
2
2
2
2
又∵点P在对称轴右侧的抛物线上， ∴x1=1舍去． ∴P（5，1）．
此时点Q坐标为（3，1）或（
，
）．
点评：本题是二次函数压轴题，涉及考点众多，难度较大．第（2）问中，注意观察图形，将问题转化为证明△ADE为直角三角形的问题，综合运用勾股定理及其逆定理、三角函数（或相似形）求解；第（3）问中，解题关键是将最值问题转化为求EP最小值的问题，注
2
意解答中求EP最小值的具体方法．
2
2014年福建省福州市中考《数学》试卷（含答案、解析）
