三年高考(2020)高考数学试题分项版解析 专题30 推理与证明 理(含解析)

专题30 推理与证明

考纲解读明方向

考纲解读

考点 内容解读 (1)了解合情推理的含义,能利用归纳和类2020北京,14; 比等进行简单的推理,了解合情推理在数学2020课标全国1.合情推理发现中的作用.(2)了解演绎推理的重要性,掌握 与演绎推理 掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进2020福建,15; 行一些简单推理.(3)了解合情推理和演绎2020课标Ⅰ,14 推理之间的联系和差异 (1)了解直接证明的两种基本方法——分析2020江苏,19; 2.直接证明法和综合法;了解分析法和综合法的思考过了解 与间接证明 程、特点.(2)了解间接证明的一种基本方法2020北京,20 ——反证法;了解反证法的思考过程、特点 3.数学归纳了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证掌握 2020浙江,22 解答题 ★☆☆ 2020江苏,20; 解答题 ★★★ Ⅱ,15; 填空题 ★★☆ 要求 高考示例 常考题型 预测热度 法 明一些简单的数学命题 分析解读 1.能利用已知结论类比未知结论或归纳猜想结论并加以证明.2.了解直接证明与间接证明的基本方法,体会数学证明的思想方法.3.掌握“归纳—猜想—证明”的推理方法及数学归纳法的证明步骤.4.归纳推理与类比推理是高考的热点.本章在高考中的推理问题一般以填空题形式出现,分值约为5分,属中档题;证明问题一般以解答题形式出现,分值约为12分,属中高档题.

2020年高考全景展示 1. 【2020课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）

A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D

【考点】合情推理

【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理。数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确。而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)。

2.(2020北京,14,5分)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.

①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是 ; ②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是 .

答案 ①Q1 ②p2

3.(2020江苏,19,16分)对于给定的正整数k,若数列{an}满足:an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”. (1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”;

(2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列.

(2)数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此, 当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,① 当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.② 由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③ an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).④

将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4, 所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'. 在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d', 在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d', 所以数列{an}是等差数列.

4.(2020北京,20,13分)设{an}和{bn}是两个等差数列,记cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数. (1)若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{cn}是等差数列;

(2)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.