专题16 导数中构造函数问题
【方法点拨】
1.双主元不等式恒成立、存在性问题：变量分离，构造函数，最终将问题转化为函数
最值问题.
2.关于“x1、x2”的齐次分式型--------换元法
减元构造：多变量不等式 ，一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候，通过变形，再换元产生一个新变量，从而构造新变量的函数.
【典型题示例】
例1 （2021·江苏扬州中学高三数学开学考试·8）已知函数f?x??x?asinx，对任意的x1，x2????,???，且x1?x2，不等式范围是（ ） A．a?f?x1??f?x2??a恒成立，则实数a的取值
x1?x21 2B．a?1 2C．a?1 2D．a?1 2【答案】B
【解析】因为x1?x2，不妨设x1?x2，则
f?x1??f?x2??a可化为
x1?x2f?x1??f?x2??a(x1?x2)，即f?x1??ax1?f?x2??ax2
设F(x)?f?x??ax
则
f?x1??f?x2?即f?x1??ax1?f?x2??ax2对任意的x1，?a恒成立，x2????,???且
x1?x2x1?x2时恒成立，即F(x1)?F(x2)对任意的x1，x2????,???且x1?x2时恒成立
所以F(x)?f?x??ax在R上单增
故F??x???x?asinx?ax???1?acosx?a?0在R上恒成立 所以a?111???，故a?? ?1?cosx21?cosx??min1
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所以实数a的取值范围是a?点评:
1， 选B． 2f?x1??f?x2??a恒成立?f??x??a恒成立. 从解题中不难发现，不等式
x1?x222改编)已知函数f(x)?lnx?x?3x，对例2 (2021·江苏徐州铜山、南通如皋一抽测·于任意x1,x2?[1,10]，当x1?x2时，不等式f(x1)?f(x2)?2m?x1?x2?x1x2 恒成立，则实数
m的取值范围是________.
【解析】不等式f?x1??f?x2??m?x2?x1?x1x2可变形为f?x1??f?x2??mm?， x1x2即f?x1??mm?f?x2??当x1,x2?[1,10]，且x1?x2恒成立， x1x2所以函数y?f(x)?m在[1,10]上单调递减. x令h(x)?f(x)?则h?(x)?mm?lnx?x2?3x?,x?[1,10] xx1m?2x?3?2?0在x?[1,10]上恒成立， xx即m?2x3?3x2?x在x?[1,10]上恒成立.
1?1?32设F(x)??2x?3x?x，则F?(x)??6x2?6x?1??6?x???.
2?2?因为当x?[1,10]时，F?(x)?0， 所以函数F(x)在[1,10]上单调递减，所以
2F(x)min?F(10)??2?103?3?102?10??1710，
所以m?1710，
即实数m的取值范围为(??,?1710].
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例3 （2021·江苏省泰州中学九月测 ·12）（多选题）已知函数f?x??xlnx，若
0?x1?x2，则下列结论正确的是（ ）．
A．x2f?x1??x1f?x2? C．
B．x1?f?x1??x2?f?x2?
f?x1??f?x2??0 D．当lnx??1时，x1f?x1??x2f?x2??2x2f?x1?
x1?x2【答案】AD
【解析】A．正确；因为令g?x??f?x??lnx，在?0,???上是增函数， x∴当0?x1?x2时，g?x1??g?x2?，∴
f?x1?f?x2?即x2f?x1??x1f?x2?． ?x1x2B．错误；因为令g?x??f?x??x?xlnx?x，∴g??x??lnx?2，
∴x?e?2,??时，g??x??0，g?x?单调递增，x?0,e?2时，g??x??0，g?x?单调递减．
∴x1?f?x1?与x2?f?x2?无法比较大小．
C．错误；因为令g?x??f?x??x?xlnx?x，g??x??lnx， ∴x??0,1?时，g??x??0，g?x?在?0,1?单调递减，
????x??1,???时，g??x??0，g?x?在?1,???单调递增，
∴当0?x1?x2?1时，g?x1??g?x2?，
∴f?x1??x1?f?x2??x2，∴f?x1??f?x2??x1?x2，∴
f?x1??f?x2??0．
x1?x2当1?x1?x2时，g?x1??g?x2?∴f?x1??x1?f?x2??x2， ∴f?x1??f?x2??x1?x2，∴
f?x1??f?x2??0．
x1?x2D．正确；因为lnx??1时，f?x?单调递增，又∵A正确，
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专题16 导数中构造函数问题-2021年高考数学一轮复习优拔尖必刷压轴题(新高考地区专用)
