17专题十七：最短路径——阿氏圆(PA+k·PB型)定圆型轨迹问题探究

专题十七：最短路径——阿氏圆（PA+k·PB型）定圆型轨迹问题探究

专题导入

则CD＝ ．

导例：1.如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠CAD,若AB＝4，DB＝1，

2.如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最小值 ．

方法点睛

几何“PA + k·PB”型的最值问题．

已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题．

如图2所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?如图3所示，在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小(如图 4 所示)．

图2 图3 图4 “阿氏圆”解题一般步骤:

(1)连接动点 P 至圆心 O(将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接)，即连接 OP，OB; (2)计算出所连接的这两条线段 OP，OB 的长度; (3)计算这两条线段长度的比 OP/OB= k;

(4)在 OB 上取点 C，使得 OC/OP=OP/OB ，即:半径的平方 = 原有的线段 × 构造线段; (5)连接 AC 与圆 O 的交点即为点 P．

2

要点：如图5，构造△PAB∽△CAP，得到PA=AB·AC，即：半径的平方=原有线段 × 构造线段

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口决：路径成最短，折线变直线 导例答案：1

； 2.2

-1．

典例精讲

类型一：圆中的阿氏圆问题

例1已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED

长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求CM+AM的最小值．

【分析】如何转化AM是本题的难点，注意到由条件知在M的运动过程中，EM：AE＝1：2保持不变，

从而想到构造相似三角形，使之与△AEM的相似比为1：2，这样便可实现AM的转化，如下图取EN：

EM＝1：2，即可得△EMN∽△EAM，再得MN=AM．显然，MN+CM的最小值就是定点N，C之间的最短路径．

类型二：与抛物线有关的阿氏圆问题

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例2．如图，顶点为C的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，连接OC，OA，AB，已知OA=OB=2，∠AOB=120°． （1）求这条抛物线的解析式；

（2）过点C作CE⊥OB，垂足为E，点P为y轴上的动点，若以O，C，P为顶点的三角形与△AOE相似，求点P的坐标；

（3）若将（2）的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A，E′B，求E′A+E′B的最小值．

【分析】（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；

（2）∠EOC=30°，由OA=2OE，OC=

，推出当OP=OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似；

=

=，

（3）如图，取Q（，0）．连接AQ，QE′．由△OE′Q∽△OBE′，推出

，推出E′Q=BE′，推出AE′+BE′=AE′+QE′，由AE′+E′Q≥AQ，推出E′A+E′B的最小值就是线段AQ的长；

专题过关

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（ ）． A.

B. 6 C. 2

D 4

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