a?x?(?)0?4?4?2?a3(a?8)所以?，解得A(4?,)，
?3(a?8)44?y?0?4?0?2?将A(4?即(a3(a?8),)代入抛物线方程， 443(a?8)2a)?a(4?)， 44因为a?0， 解得a?8. 【点睛】
本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.
15．【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐 解析：
【解析】 【分析】
画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】
3? 4?y?sinx?画出两个函数图像如下图所示，由图可知A?0,0?,C?π,0?，对于B点，由?，1y?tanx?2??π3?13B,?解得?，所以S??π???32??ABC??223π. 4
【点睛】
本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.
16．【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然后通过二次函数求出数量积的范围【详解】解：建立如图所示的直角坐标系则设则所以因为二次函数的对称轴为：所以时故答案为：【点睛】本题考查向量
[2,5] 解析： 【解析】 【分析】
画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围． 【详解】
解：建立如图所示的直角坐标系，则B(2,0)，A(0,0)，
uuuuruuur?13?|BM||CN|?5uuur?uuur??，??0,1，则M(2?，3?)，N(?2?，3)， D?,?，设?22?|BC||CD|2222????uuuuruuur?35353所以AMgAN?(2?，?)g(?2?，)?5?4?????2?????2?2??5，
2222442因为??0,1，二次函数的对称轴为：???1，所以??0,1时，???2??5??2,5?．
????[2,5] 故答案为：
【点睛】
本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．
17．【解析】依题意可得焦点的坐标为设在抛物线的准线上的射影为连接由抛物线的定义可知又解得点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用考查了学生数形结合思想和转化与化归思想设出点在抛物线的准 解析：2
【解析】
?a?
0?， 依题意可得焦点F的坐标为?，?4?
设M在抛物线的准线上的射影为K，连接MK 由抛物线的定义可知MF?MK
QFM∶MN?13∶ ?KN∶KM?22∶1
又
KFN?0?1?4?a， ?0a4KFN??KNKM??22 ?4??22，解得a?2 a点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用，考查了学生数形结合思想和转化与化归思想，设出点M在抛物线的准线上的射影为K，由抛物线的定义可知
MF?MK，再根据题设得到KN∶KM?22∶1，然后利用斜率得到关于a的方程，
进而求解实数a的值
18．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和 解析：10
【解析】
分析：由z??1?i，可得z??1?i，代入?1?z??z，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.
详解：因为z??1?i，所以z??1?i，
??1?z??z??1?1?i????1?i???2?i????1?i?
??3?i?9?1?10，故答案为10.
点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意i2??1和?a?bi??c?di???ac?bd???ad?bc?i
19．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图 解析：
101? 5【解析】 【分析】
先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB的外心分别作相应面的垂线交于O，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积. 【详解】
由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，
因为平面SAB?平面ABCD，连接AC,BD交于E，过E作面ABCD的垂线与过三角形ABS的外心作面ABS的垂线交于O，即为球心，连接AO即为半径，
令r1为?SAB外接圆半径，在三角形SAB中，SA=SB=3,AB=4,则cos?SBA?2, 3399AD52r??r??1, ∴sin?SBA?，∴1，∴1，又OF=sin?SBA52523222可得R?r1?OF，
计算得，R?2281101?1? ， 2020101?. 5所以S?4?R?101?. 5【点睛】
故答案为
本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.
20．1和3【解析】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加
解析：1和3. 【解析】
根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；
（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；
（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； 所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是1和3.
三、解答题
21．（1）列联表见解析；（2）有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关；（3）【解析】
试题分析：（1）根据在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为
.
3， 5可得喜爱游泳的学生，即可得到列联表；（2）利用公式求得K2与邻界值比较，即可得到结论；（3）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式可求出恰好有1人喜欢游泳的概率.
试题解析：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为， 所以喜欢游泳的学生人数为人
其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：
男生 女生 合计 （2）因为
喜欢游泳 40 20 60 不喜欢游泳 10 30 40 合计 50 50 100
【压轴题】高中三年级数学下期末一模试卷(及答案)
