目前手册上的跨齿数计算公式大都是近似的，有误差的，并非精确的计算公式，因而有时影响跨齿数的合理性。就是那些精确的公式，它们在角度变位中也是有不足之处的。而且至今在手册上似乎还未见到有斜齿精确的跨齿数计算公式。有人说：“手册上的
k?z??n1800?0.5不就是标准斜齿轮跨齿数精确的计算公式吗？”不，它算出的也
是近似值（文章后面进行验证）。笔者已退休多年，精力尚可，因而对此进行了研究、探讨，于是给出一个高度、角度变位都是情况良好的公式。公式为：
k?(Wk??2xmsin?1?zinv?)?0.5 （用于直齿） （1）
mcos??k?(Wn??2xnmnsin?nm?z?inv?1n)?0.5 （用于斜齿） ncos?n?公式中的W??k和Wn当为高度变位
直齿时， WK??(d?2xm)2?db2；
斜齿时， Wn??(d?2xnmn)2?d2bcos?b。
当为角度变位
直齿时， Wk??(d?1.9xm)2?db2；
斜齿时， Wn??(d?1.9x22nmn)?dbcos?b 。
上列公式中：
d——分度圆直径；
db——基圆直径；
m——模数，斜齿时为mn；
z—— 齿数；
z?___斜齿轮的假想齿数，z??zinv?tinv? ； n?___ 压力角，斜齿轮法面压力角为?n
x—— 变位系数，斜齿时法面变位系数为xn； ?b___斜齿轮基圆螺旋角；
Wk?——直齿轮的公法线长度原始计算值 ； Wn?——斜齿轮的公法线长度原始计算值 。
（1）
1
2、公式（1）的由来
公式（1）是怎么来的？其实它的来历很简单，就是由公法线长度计算公式变换而来的。公法线长度计算公式为 ：
Wk?m cos? ?(k?0.5)??zinv???2 x m sin? （直齿） （2）
?k?0.5)??z?inv?n??2xnmnsin?n （斜齿） （2） Wn?mncos?n（将公式（2）中的k移到等号左边，将Wk 和Wn移到等号右边（且变为Wk?和Wn?）即为公式（1）。
众所周知，公式（2）中的Wk和Wn是根据跨齿数计算公式算出的k值，经4舍5入后代入公式（2）中计算出来的公法线长度。设想：如果将跨齿数计算公式算出的k值不进行4舍5入，而代入公式（2）中算出的显然就不是WK和Wn而是Wk?和Wn?了。笔者称Wk?和Wn?为“公法线长度原始计算值”（这是个新的概念，以前没有这个说法）。在公式（1）的等号
?和Wn?计算出来，然后反过来推右边只有Wk?和Wn?是未知的，其它均为已知。如果能将WK算k值，那么，这样算出的k值不就是k的精确值了吗？
图1 公法线长度原始计算值Wk?
2
?和Wn?能事先计算出来吗？答案是肯定的。因为每个齿轮，只要它的模数、齿数、WK压力角、变位系数和螺旋角为已知的话，那么它的公法线长度原始计算值Wk?和Wn?就是确
?的计算式。请看图1 ：显然△ADO是直角三角形，因而, 定的。今用直齿推导WKAD=
?的一半，（Wk?2），DO是基圆半径(db2)，AO是公法线AO2?DO2。AD是WK长度测量点（量具卡脚与齿廓的切点）所在圆的半径；因为公法线长度的测量点应在齿高的中点部位，而变位齿轮齿高的中点部位是“d+2xm圆”，故AO=(d?2xm)2。因而
Wk??2AD?2AO2?DO2 ? 2?(d?2xm)22?2?(db2)2，整理此式，则
?计算出来了（斜齿的Wn?与直齿的WK?之间有个Wk??(d?2xm)2?db，这样就将WKcos?b的关系，故Wn??(d?2xnmn)2?db2cos?b）。Wk?和Wn?计算出来了，精确的k
值也就计算出来了。公式（1）就是这样来的。
但斜齿的公法线长度计算式中，已将斜齿看成是齿数为z?的直齿轮了，因而斜齿的公式中就mn?m 、 ?n??、xn?x了。也就是说斜齿的公式中就没有mn ,?n ,xn这样的写法了，因为是直齿了嘛。又因为公式（1）中的m与k无关，故将m去掉。所以整理、简化后的公式（1）为下面的形式：
k=(W??0.684x1?zinv?)?0.5 （用于直齿） (1?)
cos??W??0.684x1?z?inv?)?0.5 （用于斜齿） (1?)
cos?? k?(式中的W?当为高度变位
直齿时， W?? 斜齿时， W?? 公式中的W?当为角度变位 直齿时， W?? 斜齿时， W??(z?2x)2?(zcos?)2，
(zcos??2x)2?(zcos?cos?t)2cos?b
(z?1.9x)2?(zcos?)2，
(zcos??1.9x)2?(zcos?cos?t)2cos?b。
式中的?为斜齿轮分度圆螺旋角，?t为斜齿轮端面压力角。跨齿数用公式(1)或公式（1?）计算都是可以的，但直齿用公式(1?)计算较为简单些，斜齿并不省事。
3
有人可能问了：“公式（1）与公式（1?）到底哪个是合理的？”笔者认为公式（1?）更合理。因为你已经将斜齿轮看成是齿数为z?的直齿轮了，故 它就没有端面、法面之分了。既然这样，斜齿的公式中再有mn、?n、xn等写法就不好解释了。那么公式（2）中的斜齿式中为何又有mn、?n、xn这样写法呢？因为手册的斜齿公式中是这样的写法，如果推导公式（1）时，公法线长度计算式中就没有mn、?n、xn这样的写法了，那读者就会丈二金刚——摸不着头脑了。为使读者对公式的推导过程一目了然，故推导公式（1）时，斜齿的公式中仍有mn、?n、xn这样的写法。有读者问了：“为何角度变位齿轮公法线测量点所在圆不是“d+2xm圆”，而是“d+1.9xm圆”了呢？这是因为：以 “d+2xm圆”作为公法线测量点所在圆导出的公式对高度变位齿轮时情况是良好的（所谓情况良好，是说测量点一般都在齿高的中点部位），而在角度变位中，有时公法线的测量点靠近齿顶，情况不良。测量点靠近齿顶显然是跨齿数偏多所致，故应设法减小K值。怎样减小呢？从公式（1）看出，欲减小K值只有减小Wk?和Wn?的值。Wk??(d?2xm)2?db，故欲减小Wk?则只有减
2小常数“2”。如将“2”减小过多，对x＞0的正变为齿轮而言则跨齿数会偏少，这样测量点又会靠近齿根，情况同样不良。笔者经过验算，公式（1）在角度变位中则是以“d+1.9xm圆”为测量点所在圆（意在使X＞0时跨齿数减少，测量点下移）比较合适。这样一来角度变位齿轮就不会有公法线测量点靠近齿顶的情况出现了。
那么公式（1）为何在角度变位中会出现测量点向齿顶靠近的这种情况呢？高度变位为何没有这种情况呢？其实并不是公式（1）会出现这种情况，今天教材、手册上所有的跨齿数计算公式都会出现这种情况。这不是公式的问题，而是因为一对啮合的角度变位齿轮的齿顶与齿底之间仍需保留着c?0.25m的径向间隙而需将齿顶圆削去一些造成的。也就是说，公法线测量点的位置未变，但齿顶圆减小了，这样测量点就靠近齿顶了。
角度变位齿轮的齿顶圆直径小于高度变位齿轮的齿顶圆直径这个事实从它们的齿顶高计算公式中就能看得一清二楚。高度变位的齿顶高计算式为 ha?m(ha??x) , 而角度变
?a??x??)。如果两个齿轮参数、数据相同的话，角度变位位的齿顶高计算式为ha?(h齿轮的齿顶圆＜高度变位齿轮的齿顶圆。这就是跨齿数公式为什么对高度变位情况良好，对角度变位有时情况较差的根源所在。
角度变位齿轮不用“d+2xm圆”作为公法线测量点所在圆还有一个原因：那就是变位系数的影响。众所周知，高度变位齿轮的变位系数一般x＜1，而角度变位齿轮的正变位系数可以大到x=2.99（手册上的数据）。x大，Wk?就大；Wk?大，跨齿数就会增多，公法线的测量点就向齿顶靠近。角度变位齿轮的齿顶圆本来就减小了，测量点已向齿顶靠近了，但由于变位系数大，使跨齿数增多；跨齿数增多，测量点就会上移，这不是雪上加霜吗？因此角度变位齿轮就不能再以“d+2xm圆”作为测量点所在圆了。所以就改成 “d?1.9xm圆”了。
3、跨齿数计算公式精确性的验证
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一个跨齿数计算公式的计算值是否精确是可以验证的。验证的方法是：将跨齿数公式算出的K值不进行4舍5入，全部代入公法线长度计算式算出Wk?或Wn?，然后将Wk?或Wn?代入公法线测量点所在圆直径dk的计算式dk?2db?(Wn?cos?b)2)中算出dk,这时看
看dk是否等于分度圆（标准齿轮）、“d+2xm圆”（高度变位齿轮）、“d?1.9xm圆”（角度变位齿轮）或是你设定的公法线测量点所在圆的直径；如果它们都是各自相等的，则说明公式是精确的，否则是不精确的。如此而已。
但是，K值虽然精确，不等于说公式就是合理的。如果你设定的“公法线测量点所在圆”是不合理的话，公式的K值多么精确也无济于事。比如上世纪五六七十年代，原来教材、手册上的那个公式，即K=z?180?0.5?2 x tg?0?就是个精确的公式（只对直齿
精确），但它是不合理的。因为它设定的公法线测量点在“分度圆上”就错了。因为变为齿轮齿高的中点已不是“分度圆”了，而是“d+2xm圆”了。所以，光公式的K值精确无用，而它设定的“公法线测量点所在圆”还必须是正确的，这样的公式才是既精确又合理的。 笔者说公式（1）是精确的，文章开头说过公式k?z??n180?0.5不是斜齿的精确计
0算公式，那么情况是否这样呢？下面用一个算例进行验证。
算例：一标准斜齿轮，mn?4mm，z=32,?n?20，??2259?38??，今用两个公
00式计算跨齿数值，看看哪个公式是精确的。 （1） 用手册上的公式计算
K=z??n180?0.5
0 z??zinv?tinv?t，为使数值精确，今算出之值。
inv?ninv?n?tg?t?tg?ncos?
0 ??t?arctg(tg?ncos?)?arctg(tg200cos22059?38??)?21.573096?00?0.01886383因而inv?t?tg21.573096?21.573096。 1800 （见手册）。 inv?n?inv200?0.0149044inv?t0.01886383。 ???1.265625117inv?n0.0149044?z??32?1.265625117?40.5000052。 k?40.5000052?2001800?0.5?5.000000.
k值既未4舍，也未5入，正好是一整数，对标准齿轮而言它的公法线的测量点应在分度
圆上。那么由k?5.000000算出的公法线测量点是否在分度圆上呢？今根据前面说的方法
验证如下：
1）计算公法线测量点所在圆的直径dk
2dk?db?(Wn?cos?b)2
5
① 计算基圆直径db
db?dcos?t
， d?mnzcos??4?32cos22059?38???139.047830（前已算出） ?t?21.5730960。 ?db?139.04783cos21.573096?129.3074373② 计算公法线长度Wn?
Wn??mncos?n?(k?0.5)??z?inv?n?
。 ?Wn??4cos200(5.000000?0.5)??40.5inv200?55.4072757③ 计算基圆螺旋角?b
???tg?b?tg?cos?t
00 ??b?arctg(tg?cos?t)?arctg(tg22059?38??cos21.573096?21.53533135?dk?129.30743732?(55.4072757cos21.53533135)2?139.200285
2）计算分度圆直径d
前已算出 d?139.04783 。
计算结果dk?139.200285?d?139.04783，这说明公法线测量点不在分度圆上，说明k的计算值（k?5.000000）并非k的精确值。这就证明了手册上的这个公式是不精确的。 （2） 用精确公式（1）计算
Wn??2xnmnsin?n1k?(?z?inv?n)?0.5
mncos?n?Wn??(d?2xnmn)2?d2bcos?b?139.047832?129.307422cos21.535331350
?54.9631166。
?k?(54.963116601?40.5inv20)?0.5?4.9623874。
?4cos200那么k?4.9623874是否精确呢？现验证如下：
1）计算公法线测量点所在圆直径dk
dk?db?(Wn?cos?b)2
① 计算基圆直径db
前已算出 db?129.3074273
② 计算公法线长度Wn?
2Wn??mncos?n?(k?0.5)??z?inv?n? ?Wn??4cos200(4.9623874?0.5)??40.5inv200?54.9631166③ 计算基圆螺旋角?b
?? 6
前已算出
0 ?b?21.53533135?dk?129.307422?(54.9631166cos21.535331350)2?139.04783
2）计算分度圆直径d
前已算出d?139.04783。
这说明k?4.9623784才是k的精确值。所以这就证dk?139.04783?d?139.04783，明了公式（1）是精确的计算公式。 4、精确跨齿数计算公式（1）的意义
不言而喻，公式（1）的计算值是精确的，而它设定的公法线测量点所在圆也是合理的，所以它没有近似公式那样的缺陷：即有时会多跨一齿或少跨1齿的情况出现，这样就保障了跨齿数的合理性。从而公法线的测量点一般都能在齿高的中点部位附近，使公法线长度测量得比较准确，因而保证了齿厚的精度。 此外，由于公式（1）在角度变位中是以“d?1.9xm圆”作为测量点所在圆推导的，所以角度变位齿轮就不会再有公法线测量点靠近齿顶的不良情况出现了。而且公式（1）还能解释、证明公法线测量点在齿廓部位上的合理性（就像上面的那个算例一样）。因而公式（1）既是精确的，又是合理的跨齿数计算公式。
7
变位齿轮中心距计算公式终于整全了
