章末综合测评(二) 一元函数的导数及其应用
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1
1．如果物体的运动方程为s＝t＋2t(t＞1)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是( )
7
A．4米/秒 3
C．2米/秒
9
B．4米/秒 5
D．2米/秒
11
A [∵s＝s(t)＝t＋2t，∴s′(t)＝－t2＋2. 17
故物体在2秒末的瞬时速度s′(2)＝－4＋2＝4.] 2．曲线y＝(x3＋x2)ex在x＝1处的切线方程为( ) A．y＝7ex－5e C．y＝3ex＋5e
B．y＝7ex＋9e D．y＝3ex－5e
A [y′＝(3x2＋2x)ex＋(x3＋x2)ex，所以y′|x＝1＝7e，又x＝1时，y＝2e，所以所求切线方程为y－2e＝7e(x－1)，即y＝7ex－5e，故选A.]
3
3．函数f (x)＝－2ln x－x－x的单调递增区间是( ) A．(0，＋∞) C．(0，1)
B．(－3，1) D．(1，＋∞)
C [依题意，函数的定义域为(0，＋∞)，
2
?x＋3??x－1?23－x－2x＋3
f ′(x)＝－x－1＋x2＝＝－，故当0＜x＜1时，f ′(x)
x2x2＞0，所以函数的单调递增区间为(0，1)，故选C.]
4．已知函数f (x)＝ax3＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，则a，b的关系是( )
A．3a－b＝0 C．a－3b＝0
B．3a＋b＝0 D．a＋3b＝0
B [由函数图象知，x＝1为函数的极大值点，x＝－1为函数的极小值点，即1，－1是f ′(x)＝0的两个根，又f ′(x)＝3ax2＋b，所以3a＋b＝0.故选B.]
1
5．若函数f (x)＝2x2－2x＋aln x有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是( )
A．a＞1 C．a＜1
D [f (x)的定义域是(0，＋∞)，
2
ax－2x＋a
f ′(x)＝x－2＋x＝，
x
B．－1＜a＜0 D．0＜a＜1
若函数f (x)有两个不同的极值点，
则g(x)＝x2－2x＋a在(0，＋∞)有2个不同的实数根， ??Δ＝4－4a＞0，故?解得0＜a＜1，故选D.] ??a＞0，
6．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则其高为( ) 203A．3 C．20
B．10 20D．3 400－x2，
A [设圆锥的高为x(0＜x＜20)，则圆锥底面半径：r＝11π400π
∴圆锥体积：V＝3πr2·x＝3π(400－x2)x＝－3x3＋3x， 400π203∴V′＝－πx2＋3，令V′＝0，解得x＝3，
??203?203?
?时，V′＞0；当x∈?当x∈?0，，20?时，V′＜0 3???3?203203
∴当x＝3，V取最大值，即体积最大时，圆锥的高为3.]
7．已知函数f (x)＝x2－9ln x＋3x在其定义域内的子区间(m－1，m＋1)上不单调，则实数m的取值范围为( )
3?5?5??13????
A．?2，2? B．?1，2? C．?1，2? D．?1，2?
????????9
D [因为f (x)＝x2－9ln x＋3x，所以f ′(x)＝2x－x＋3， 93
令f ′(x)＝0，即2x－x＋3＝0，解得x＝2或x＝－3(舍)， 3??
所以x∈?0，2?时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
???3?
x∈?2，＋∞?时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增， ??
3
而f (x)在区间(m－1，m＋1)上不单调，所以m－1＜2＜m＋1， 15
解得2＜m＜2，因为(m－1，m＋1)是函数f (x)定义域内的子区间， 5??
所以m－1≥0，即m≥1，所以m的范围为?1，2?.故选D.]
??8．下列结论正确的是( )
A．若f (x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B．若f (x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C．若f (x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得 D．若f (x)在[a，b]上连续，则f (x)在[a，b]上存在最大值和最小值 D [函数f (x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．]
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
2024-2024学年新教材人教A版选择性必修第二册 一元函数的导数及其应用 单元测试
