关于高等数学函数的极限与连续习题精选及答
案
：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
Company number
1、函数
f?x??x2x3?1?x?1与函数g?x??x?1相同．
错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
3x?12 ∴f?x??x?x?1与g?x??x?1函数关系相同，但定义域不同，所以
f?x?与g?x?是不同的函数。
2、如果f?x??M（M为一个常数），则f?x?为无穷大．
错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．
错误 如：数列xn???1?是有界数列，但极限不存在
n4、n??liman?a，liman?a．
n??nn??错误 如：数列an???1?，lim(?1)n?1，但lim(?1)n不存在。 5、如果limf?x??A，则f?x??A??（当x??时，?为无穷小）．
x??n??正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果?～?，则????o???．
??1，是 ????????lim?1???0，即???是?的高阶无穷小量。 ∴lim????7、当x?0时，1?cosx与x2是同阶无穷小． 正确 ∵limxx??2sin2sin??1?cosx2?lim2?1??2??1 ?lim正确 ∵limx?0x?0x?04?x?2x2x2???2?118、 limxsin?limx?limsin?0．
x?0xx?0x?0x1错误 ∵limsin不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
x?0x2?1?9、 lim?1???e．
x?0?x??1?错误 ∵lim?1???e
x???x?x10、点x?0是函数y?的无穷间断点．
xxx?xxlim?lim?lim?1 lim??1，错误
x?0?0xx?0?0xx?0?0xx?0?0xxx
∴点x?0是函数y?11、函数f?x??xx的第一类间断点．
1必在闭区间?a,b?内取得最大值、最小值． x1错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，f?x??在x?0处不连续
x1∴函数f?x??在闭区间?a,b?内不一定取得最大值、最小值
x二、填空题：
1、设y?f?x?的定义域是?0,1?，则
（１）f?ex?的定义域是（ (??,0) ）；
??? （２）f?1?sin2x?的定义域是（ ?xx?k?,x?k???(k?Z) ）；
2??（３）f?lgx?的定义域是（ (1,10) ）．
答案：（1）∵0?ex?1 （2）∵0?1?sin2x?1
（3）∵0?lgx?1
?x?2?2?x?0?x?0的定义域是（ 2、函数f?x???0?x2?30?x?4???2,4?
）．
3、设f?x??sinx2，??x??x2?1，则f???x???（ sinx2?1 ）．
x4、limnsin＝（ x ）．
n??nxxsinsinxn?limn?x?x ∵limnsin?limn??n??xnn??1nnx??1?1?x??x?5、设f?x???cos?1?x?1，则limf?x??（ 2 ），limf?x??（ 0 ）．
x??1?0x?1?02?x?1??x?12??∵limf?x??lim(1?x)?2，limf?x??lim?x?1??0
x??1?0x??1?0x?1?0x?1?0?1?cosx1?x?06、设f?x???x2，如果f?x?在x?0处连续，则a?（ ）．
2?x?0?a1?cosx11?cosx1??fx?lim??f?0??a ∵lim，如果在处连续，则x?022x?0x?022xx7、设x0是初等函数f?x?定义区间内的点，则limf?x??（ f?x0? ）．
∵初等函数f?x?在定义区间内连续，∴limf?x??f?x0?
x?x0x?x08、函数y?1?x?1?2当x?（ 1 ）时为无穷大，当x?（ ? ）时为无穷小．
∵lim1x?1?x?1?x???2??，lim1x??9、若lim∵
x?????x?1?2?0
x2?x?1?ax?b?0，则a?（ 1 ），b?（ ??1 ）． 2lim??limx????x2?x?1?ax?bx2?x?1?ax?bx2?x?1?ax?bx2?x?1?ax?b??????
21?a?0，∴a??1， 欲使上式成立，令
上式化简为
21?b??1?2ab????1?2ab?x??1?b2???1?2ab?xlim?lim?lim2x???x???11bx???1?a∴x?x?1?ax?b1??2?a?xxx1a?1，1?2ab?0，b??2
10、函数f?x??的间断点是（ x?0,x??1 ）． 11?xx2?x?211、f?x??2的连续区间是（ ???,1?,?1,3?,?3,??? ）．
x?4x?3ax?2sinx12、若lim?2，则a?（ 2 ）．
x??x ∴a?2 ax?2sinxsinx??lim?lim?a?2?a?0??a?0?2??limx??x??x??xx??sinx113、lim?（ 0 ），limxsin?（ 1 ），
x??x??xx1?1?lim?1?x??（ e ），lim?1???（ ek ）． x?0x??x??1sin1sinx1x?1 ?lim?sinx?0 limxsin?lim∵limx??x??x??xxx??1xx1x?1kx14、limsin(arctanx??x)?（ 不存在 ），limsin(arccotx)?（ 0 ）
x???三、选择填空：
1、如果limxn?a，则数列xn是（ b ）
n??a.单调递增数列 b．有界数列 c．发散数列
2、函数f?x??logax?x2?1是（ a ）
a．奇函数 b．偶函数 c．非奇非偶函数
∵
??f??x??loga?x?(?x)?1?loga2??1x?x2?1
3、当x?0时，ex?1是x的（ c ）
a．高阶无穷小 b．低阶无穷小 c．等价无穷小
4、如果函数f?x?在x0点的某个邻域内恒有f?x??M（M是正数），则函数f?x?在该邻域内（ c ）
a．极限存在 b．连续 c．有界
5、函数f?x??11?x在（ c ）条件下趋于??.
a．x?1 b．x?1?0 c．x?1?0
6、设函数f?x??sinxx，则limx?0f?x??（ c ）
a．１ b．－１ c．不存在
∵sinxxlim?0?0x?xlim?sinx?0?0x??xlimsinx?0?0x?0?x??1 根据极限存在定理知：limfx?不存在。
7、如果函数f?x?当x?x0时极限存在，则函数f?x?在x0点（ c a．有定义 b．无定义 c．不一定有定义
∵f?x?当x?x0时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。
8、数列１，１，1112，２，3，３，…，n，n，…当n??时为（ ca．无穷大 b．无穷小 c．发散但不是无穷大
9、函数f?x?在x0点有极限是函数f?x?在x0点连续的（ b ）
a．充分条件 b．必要条件 c．充分必要条件
10、点x?0是函数arctan1x的（ b ）
a．连续点 b．第一类间断点 c．第二类间断点
∵xlim?0?0arctan1x???2 xlim?0?0arctan1?x?2 根据左右极限存在的点为第一类间断点。
11、点x?0是函数sin1x的（ c ）
a．连续点 b．第一类间断点 c．第二类间断点 四、计算下列极限：
1、limn???1?nn??3n n???1?n解 lim11(?1)nn??3n?limn??(3?3?n)?13
）
）
关于高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
