高考数学一轮复习 第六章数列6．3等比数列及其前n项和教学
案 新人教B版
考纲要求
1．理解等比数列的概念．
2．掌握等比数列的通项公式和前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系．
1．等比数列的相关概念 相关名词 等比数列{an}的有关概念及公式 an＋1定义 a＝q(q是常数且q≠0，n∈N*)或ana＝q(q是常数且q≠0，nn－1n∈N*且n≥2) 通项公式 a－mn＝__________，an＝am·qn 前n项和公式 S??，q＝1，n＝?? ?，q≠1等比中项 如果三个数a，G，b组成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，且__________. 1
2．等比数列有关性质
*
(1)在等比数列中，若m＋n＝p＋q，则am·an＝__________(m，n，p，q∈N)． (2)间隔相同的项，如a1，a3，a5，…仍为等比数列，且公比为__________．
(3)等比数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为__________．
(4)单调性 ???a1>0，?a1<0，?若或??{an}__________． ?q>1?0 ??a1>0，若? ?0 ??a1<0，或??q>1? ?{an}__________． q＝1?{an}为常数列，q＜0?{an}为摆动数列． 1．在等比数列{an}中，若a5＝4，则a2a8等于( )． A．4 B．8 C．16 D．32 2．在等比数列{an}中，若a4＝8，q＝－2，则a7的值为( )． A．－64 B．64 C．－48 D．48 3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝( )． A．－11 B．－8 C．5 D．11 2n－1 4．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋2＋…＋2)，…的前n项和为Sn，则Sn＝__________. S5 S2 2 一、等比数列的判定与证明 【例1】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列； (2)证明数列?n?是等差数列． ?2? 方法提炼 1．等比数列的判定方法： (1)定义法：若 ?an? an＋1an** ＝q(q为非零常数，n∈N)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N)，anan－1 则{an}是等比数列． * (2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a2则数列{an}是等比数列． n＋1＝an·an＋2(n∈N)， n－1* (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·q(c，q均是不为0的常数，n∈N)，则{an}是等比数列． n(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·q－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 2．几点注意事项：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定． (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可． 请做演练巩固提升5 二、等比数列的基本运算 【例2－1】 (2012重庆高考)首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4＝__________. 【例2－2】设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn. 方法提炼 1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 2．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程． 3．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式． n特别强调：数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝aq＋b(a，b∈R)，{an}是等比数列，则a， a11－qnnb应满足a＋b＝0且a，b均不为0.∵由Sn＝aq＋b，可知{an}的公比q≠1，∴Sn＝ 1－q＝－·q＋.观察可知a＝－，b＝，∴a＋b＝0且a与b不等于0. 1－q1－q1－q1－q请做演练巩固提升1,3 3 a1 na1a1a1 三、等比数列的性质及其应用 【例3－1】(1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值． (2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44. 122 【例3－2】已知方程(x－mx＋2)(x－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列， 2求的值． 方法提炼 1．等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形，(2)等比中项的变形，(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2．等比数列的常用性质 (1)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列； (2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，ank＋3k，…为等比数列，公比为q； n－m* (3)an＝am·q(n，m∈N)； * (4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N)，则am·an＝ap·aq； (5)若等比数列{an}的公比不为－1，前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等比数列． 请做演练巩固提升4 mn 未注意数列首项的特殊而致误 an＋an＋1* 【典例】已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N. 2 (1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． an－1＋an错解：(1)证明：∵bn＝an＋1－an＝－an 2 11 ＝－(an－an－1)＝－bn－1， 22∴{bn}是等比数列． ?1?n－1 (2)解：bn＝an＋1－an＝?－?， ?2? an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) 4 ?1??1?n－2 ＝1＋1＋?－?＋…＋?－? ?2??2??1?n－11－?－??2? ＝1＋ 1??1－?－??2?2??1?n－1?＝1＋?1－?－?? 3??2??52?1?n－1 ＝－?－?， 33?2? 52?1?n－1 ∴an＝－?－?(n∈N)． 33?2? 正解：(1)证明：b1＝a2－a1＝1， an－1＋an当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an 2 11 ＝－(an－an－1)＝－bn－1， 22 1 ∴{bn}是首项为1，公比为－的等比数列． 2 ?1?n－1 (2)解：由(1)知bn＝an＋1－an＝?－?， ?2? 当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ?1?n－11－?－??2??1??1?n－2 ＝1＋1＋?－?＋…＋?－?＝1＋ 1??2??2??1－?－??2? 2??1?n－1?52?1?n－1 ＝1＋?1－?－??＝－?－?， 3??2??33?2? 52?1?1－1 当n＝1时，－?－?＝1＝a1， 33?2? 52?1?n－1* ∴{an}的通项公式为an＝－?－?(n∈N)． 33?2? 答题指导：本题难度并不大，属于一道中等难度的题目，但大部分考生都因解题不规范，步骤不完整等原因被扣分，如解(1)题时未说明{bn}的首项和公比．解第(2)题时未对n＝1的情况进行检验等，因此在解题时一定注意步骤的完整性及逻辑的严谨性． 5
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