高考数学一轮复习 第六章数列6.3等比数列及其前n项和教学
案 新人教B版
考纲要求
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列的相关概念 相关名词 等比数列{an}的有关概念及公式 an+1定义 a=q(q是常数且q≠0,n∈N*)或ana=q(q是常数且q≠0,nn-1n∈N*且n≥2) 通项公式 a-mn=__________,an=am·qn 前n项和公式 S??,q=1,n=?? ?,q≠1等比中项 如果三个数a,G,b组成等比数列,则G叫做a和b的等比中项,且__________. 1
2.等比数列有关性质
*
(1)在等比数列中,若m+n=p+q,则am·an=__________(m,n,p,q∈N). (2)间隔相同的项,如a1,a3,a5,…仍为等比数列,且公比为__________.
(3)等比数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,公比为__________.
(4)单调性 ???a1>0,?a1<0,?若或??{an}__________. ?q>1?0 ??a1>0,若? ?0 ??a1<0,或??q>1? ?{an}__________. q=1?{an}为常数列,q<0?{an}为摆动数列. 1.在等比数列{an}中,若a5=4,则a2a8等于( ). A.4 B.8 C.16 D.32 2.在等比数列{an}中,若a4=8,q=-2,则a7的值为( ). A.-64 B.64 C.-48 D.48 3.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=( ). A.-11 B.-8 C.5 D.11 2n-1 4.设数列1,(1+2),…,(1+2+2+…+2),…的前n项和为Sn,则Sn=__________. S5 S2 2 一、等比数列的判定与证明 【例1】设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)证明数列?n?是等差数列. ?2? 方法提炼 1.等比数列的判定方法: (1)定义法:若 ?an? an+1an** =q(q为非零常数,n∈N)或=q(q为非零常数且n≥2,n∈N),anan-1 则{an}是等比数列. * (2)中项公式法:若数列{an}中,an≠0且a2则数列{an}是等比数列. n+1=an·an+2(n∈N), n-1* (3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·q(c,q均是不为0的常数,n∈N),则{an}是等比数列. n(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·q-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列. 2.几点注意事项:(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明,而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定. (2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比即可. 请做演练巩固提升5 二、等比数列的基本运算 【例2-1】 (2012重庆高考)首项为1,公比为2的等比数列的前4项和S4=__________. 【例2-2】设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn. 方法提炼 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解. 2.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程. 3.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式. n特别强调:数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=aq+b(a,b∈R),{an}是等比数列,则a, a11-qnnb应满足a+b=0且a,b均不为0.∵由Sn=aq+b,可知{an}的公比q≠1,∴Sn= 1-q=-·q+.观察可知a=-,b=,∴a+b=0且a与b不等于0. 1-q1-q1-q1-q请做演练巩固提升1,3 3 a1 na1a1a1 三、等比数列的性质及其应用 【例3-1】(1)已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,求b5+b9的值. (2)在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求a41a42a43a44. 122 【例3-2】已知方程(x-mx+2)(x-nx+2)=0的四个根组成以为首项的等比数列, 2求的值. 方法提炼 1.等比数列的性质可以分为三类:(1)通项公式的变形,(2)等比中项的变形,(3)前n 项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 2.等比数列的常用性质 (1)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)也是等比数列; (2)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,ank+3k,…为等比数列,公比为q; n-m* (3)an=am·q(n,m∈N); * (4)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N),则am·an=ap·aq; (5)若等比数列{an}的公比不为-1,前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k是等比数列. 请做演练巩固提升4 mn 未注意数列首项的特殊而致误 an+an+1* 【典例】已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=,n∈N. 2 (1)令bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式. an-1+an错解:(1)证明:∵bn=an+1-an=-an 2 11 =-(an-an-1)=-bn-1, 22∴{bn}是等比数列. ?1?n-1 (2)解:bn=an+1-an=?-?, ?2? an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) 4 ?1??1?n-2 =1+1+?-?+…+?-? ?2??2??1?n-11-?-??2? =1+ 1??1-?-??2?2??1?n-1?=1+?1-?-?? 3??2??52?1?n-1 =-?-?, 33?2? 52?1?n-1 ∴an=-?-?(n∈N). 33?2? 正解:(1)证明:b1=a2-a1=1, an-1+an当n≥2时,bn=an+1-an=-an 2 11 =-(an-an-1)=-bn-1, 22 1 ∴{bn}是首项为1,公比为-的等比数列. 2 ?1?n-1 (2)解:由(1)知bn=an+1-an=?-?, ?2? 当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) ?1?n-11-?-??2??1??1?n-2 =1+1+?-?+…+?-?=1+ 1??2??2??1-?-??2? 2??1?n-1?52?1?n-1 =1+?1-?-??=-?-?, 3??2??33?2? 52?1?1-1 当n=1时,-?-?=1=a1, 33?2? 52?1?n-1* ∴{an}的通项公式为an=-?-?(n∈N). 33?2? 答题指导:本题难度并不大,属于一道中等难度的题目,但大部分考生都因解题不规范,步骤不完整等原因被扣分,如解(1)题时未说明{bn}的首项和公比.解第(2)题时未对n=1的情况进行检验等,因此在解题时一定注意步骤的完整性及逻辑的严谨性. 5
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