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1．下面四个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定过原点；③偶函数的图像一定关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的一定是y＝0(x∈R)．其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选A.可结合我们已学过的函数及奇、偶函数的图像特征来判断．偶函数的图像一定
－
关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如函数y＝x0，y＝x2都是偶函数，但它们的图像不
－
与y轴相交，故①错误，③正确；奇函数的图像关于原点对称，但不一定过原点，如y＝x1，故②错误；若函数y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但未必x∈R，如x∈(－1,1)，只要其定义域关于原点对称即可，故④错误，所以，四个结论中只有③正确，故选A. 2．(2011·高考上海卷)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
－2－1
A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x
2
1313和y＝x都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，
1－
＋∞)上为增函数，故C错误，y＝x2＝2在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足
x
题意．
3．下图是根据y＝f(x)绘出来的，则表示偶函数的图像是图中的________．(把正确图像的序号都填上)
解析：观察四个图像可以看出，只有图(3)关于y轴对称，其相应的函数是偶函数． 答案：(3)
4．若函数y＝(a2－3a－3)x2为幂函数，则a的值为________．
解析：根据幂函数的定义，若函数y＝(a2－3a－3)x2为幂函数，则x2的系数必为1，即a2－3a－3＝1，所以a2－3a－4＝0，解得a＝－1或a＝4. 答案：－1或4
[A级 基础达标]
1
1．函数f(x)＝－x的图像关于( )
x
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
1
解析：选C.∵f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝－(－x)
－x
1?＝－??x－x?＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，它的图像关于原点对称，故选C.
2．已知函数f(x)(x∈R)是偶函数，则下列各点中必在函数y＝f(x)图像上的是( ) A．(－a，f(a)) B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a)) D．(a，－f(a))
解析：选A.因为函数f(x)(x∈R)是偶函数，所以，若点(a，f(a))在函数y＝f(x)的图像上，由偶函数的图像关于y轴对称可知，点(a，f(a))关于y轴的对称点(－a，f(a))必在函数图像上．
1－x2
3．(2012·宝鸡调研)函数y＝是( )
|x＋3|－3
A．偶函数不是奇函数 B．奇函数不是偶函数 C．奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：选A.∵y＝x
－1
解析：选B.y＝的定义域为{x|－1≤x≤1且x≠0}，关于原点对称，又当x∈[－1,0)
|x＋3|－3∪(0,1]时，x＋3>0.
1－x2
1word版本可编辑.欢迎下载支持.
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1－x2
∴y＝是奇函数，故选B.
x
4．比较大小(填“>”“<”或“＝”)：
2?0.5
?1?0.5； (1)?________?5??3?
(2)(－π)3________(－3)3.
2?0.5?1?0.521
解析：(1)因为幂函数y＝x0.5在区间[0，＋∞)上是增函数，又>，所以??5?>?3?. 53
(2)因为幂函数y＝x3在区间(－∞，＋∞)上是增函数，又－π<－3，所以(－π)3<(－3)3. 答案：(1)> (2)<
－
5．幂函数y＝(k2－2k－2)x1k在(0，＋∞)上是减函数，则k＝________.
－
解析：∵y＝(k2－2k－2)x1k是幂函数， ∴k2－2k－2＝1， ∴k＝3或k＝－1，
当k＝－1时，y＝x2在(0，＋∞)上是增函数，不合题意，舍去．
－
当k＝3时，y＝x2在(0，＋∞)上是减函数， 故k＝3. 答案：3
1
，2?. 6．已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点A??2?
(1)求实数α的值；
(2)求证：f(x)在区间(0，＋∞)内是减函数．
1?解：(1)∵f(x)＝xα的图像经过点A??2，2?， 1?α1－α2∴?＝2，即2＝，解得α＝－. 2?2?2(2)证明：由(1)可知，f(x)＝x∴f(x1)－f(x2)＝x1?121?12，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1
－x2?12
x2－x111
＝－＝
x1x2x1x2＝
x2－x1x1x2·x1＋x2
?12()
>0，
即f(x1)>f(x2)． ∴f(x)＝x在区间(0，＋∞)内是减函数．
[B级 能力提升]
1??
7．幂函数y＝xα中α的取值集合C是?－1，0，2，1，2，3?的子集，当幂函数的值域与定
??
义域相同时，集合C为( )
1???1?
A.?－1，0，2? B.?2，1，2? ????
1???1?
C.?－1，2，1，3? D.?2，1，2，3? ????解析：选C.根据幂函数y＝x，y＝x0，y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3的图像和解析式可知，
1
当α＝－1，，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．
2
1?
8．(2012·合肥质检)已知偶函数f(x)在区间(0，＋∞)单调增加，则满足f(2x－1) －1 ?122word版本可编辑.欢迎下载支持. 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 值范围是( ) 12?12， B.?，? A.??33??33?12?12， D.?，? C.??23??23? 解析：选A.f(x)在(0，＋∞)为增，则在(－∞，0)为减． 1?1112 f(2x－1) 9．(2012·南昌质检)幂函数y＝x (p∈Z)为偶函数，且f(1) 13 ∴－p2＋p＋>0，∴p2－2p－3<0. 22 ∴(p－3)(p＋1)<0，∴－1 又∵p∈Z，当p＝0时，或p＝2时，y＝x不是偶函数，p＝1，y＝x2适合题意． 答案：1 10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域是[a－1,2a]，求f(x)的值域． 解：∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是[a－1,2a]上的偶函数， 1???a＝3，?a－1＋2a＝0，1 ∴?∴?∴f(x)＝x2＋1. 3 ?b＝0.??b＝0.? 3213?p2?p+22 22311 －，?上的值域是?1，?. ∴f(x)＝x2＋1在??33??27?3 11．(创新题)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x＋y)(x，y∈R)，f(1)＝－1. (1)求f(0)和f(－2)的值； (2)若f(5)＝m，试用m表示f(－5)； (3)试判断f(x)的奇偶性(要写出推理过程)． 解：(1)取x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0. 取x＝y＝1得f(2)＝2f(1)＋2×2＝2. 取x＝2，y＝－2得f(0)＝f(2)＋f(－2)， ∴f(－2)＝－2. (2)取x＝5，y＝－5得f(0)＝f(5)＋f(－5)． ∴f(－5)＝－m. (3)取y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)， ∴f(－x)＝－f(x)． 从而f(x)是奇函数． 3word版本可编辑.欢迎下载支持.
2020北师大版高中数学必修1第二章167;5知能演练轻松闯关
