① 方程有两个不相等的实数根 ②当m＞2时，方程有两个正根.
证明：①△=4m2?4m2?4=16＞0 ∴方程总有两个不相等的实数根.
??② 设方程两根为x1、x2，根据根与系数的关系得
x1+ x2=2m x1 x2=m?4
当m＞2时，x1+ x2=2m＞0 x1 x2=m?4=?m?2??m?2?＞0
22 ∴x1＞0、x2＞0，即方程有两个正根.
练习1、若方程x?2x?m?0有两个正根，则m的取值范围是（ ） A、0＜m＜1 B、m＞1 C、-1≤m＜0 D、m＜-1 【 C 】
2、已知方程x2?2?m?2?x?4m?3?0，根据下列条件求m的取值范围或取值. ①方程两根互为相反数 【 -2 】
23】 43 ③方程有一个正根、一个负根 【m＜?】
4 ②方程有两个负根 【m＞?6、 构造一元二次方程求值
例6、 已知2m?5m?1?0，解：∵
21511??2?0?的值. 且m≠n，求
mnn2n152??2?02n?5n?1?0， ∴2nn2 又∵m≠n，∴可以把m、n看作是方程2x?5x?1?0的两不等根，
51、mn=? 2211m?n??5 ∴?=
mnmn ∴m+n=
练习1、已知实数???，【 10 】
2 2、已知实数?、?满足2????1?0，2??2??1?0，求
2?2?2??5，?2?2??5，求?2????2的值.
1??1?的值.
【 1或4或-2 】
构造一元二次方程的依据是方程根的定义，能用此法解题，必须是题目中两个方程的形式相同，或经过适当的变形后可变成形式相同的两个方程，便可利用根与系数的关系.
从以上几例可以看出，一元二次方程的根与系数的关系的应用的确非常广泛，并且用法灵活，只要熟练掌握了以上几种应用，遇到此类问题便可迎刃而解. 五、 对标自检
（一）、填空题： 1、如果关于的方程2、已知关于的一元二次方程
。
的两根之差为2，那么
。
两根互为倒数，则
3、已知关于的方程则
。
是方程
的两根为，且，
4、已知的两个根，那么： ；
； 。
5、已知关于的一元二次方程
，则
；
的两根为 。
和，且
6、如果关于的一元二次方程
个根是 ，的值为 。
7、已知为 。
8、一个一元二次方程的两个根是为： 。
和
是
的一个根是，那么另一
的一根，则另一根为 ，的值
，那么这个一元二次方程
（二）、求值题： 1、已知
的值。
是方程
的两个根，利用根与系数的关系，求
2、已知
的值。
是方程的两个根，利用根与系数的关系，求
3、已知是方程的值。
的两个根，利用根与系数的关系，求
4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。 5、已知关于x的方程求
的值及方程的两个根。 6、已知方程值及这个相同的根。
（三）、能力提升题：
1、实数在什么范围取值时，方程
有正的实数根？
和
有一个相同的根，求
的
的两根满足关系式
，
2、已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论
取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
、
满足
，求
的值。
（2）若这个方程的两个实数根
3、若，关于的方程有两个相等的正的实数
根，求的值。
4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根
，满足请说明理由。
，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，
5、已知关于的一元二次方程（）的两实数
根为，若，求的值。
6、实数、分别满足方程和，求代式
的值。
学法高清视野
1、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程
两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项
皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定
或
的正负情况。因此解答此题的关键是：既 或
的正负情况。
要求出判别式的值，又要确定
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0
∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为
，
∵＜0
∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中倘若
＞0，仍需考虑
＜0，所以可判定方程的根为一正一负；
的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
2、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程
的一个根为2，求另一个根及
的
值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，
先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与
系数的关系求出另一个根及的值。 解法一：把
代入原方程，得：
即解得
当时，原方程均可化为：，解得：
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为
，
初中数学最好的资料
