高中数学选修2-1课时作业
1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词
一、基础达标 1.下列命题：
①中国公民都有受教育的权利； ②每一个中学生都要接受爱国主义教育； ③有人既能写小说，也能搞发明创造； ④任何一个数除0，都等于0. 其中全称命题的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 [答案] C
[解析] 命题①②④都是全称命题. 2.下列命题中的假命题是( ) A.?x∈R，lgx＝0 C.?x∈R，x3>0 [答案] C
π
[解析] 对于A，当x＝1时，lgx＝0，正确；对于B，当x＝时，tanx＝1，正确；对于C，
4当x＜0时，x3＜0，错误；对于D，?x∈R,2x＞0，正确. 3.下列命题中特称命题的个数是( )
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sinx|≤1. A.0B.1C.2D.3 [答案] B
[解析] 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命
B.?x∈R，tanx＝1 D.?x∈R,2x>0
1
高中数学选修2-1课时作业
题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题.故有一个特称命题.
4.下列全称命题中真命题的个数为( ) ①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab； ③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点； ④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. A.1B.2C.3D.4 [答案] C
[解析] ①②③为真命题. 5.给出以下命题： ①?x∈R，有x4>x2；
②?α∈R，使得sin3α＝3sinα；
③?a∈R，对?x∈R，使得x2＋2x＋a<0. 其中真命题的个数为( ) A.0 C.2 [答案] B
[解析] ①中，当x＝0时，x4＝x2，故为假命题；②中，当α＝kπ(k∈Z)时，sin3α＝3sinα成立；③中，由于抛物线开口向上，一定存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，显然为假命题，故选B.
6.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ) A.存在一个α，使tan(90°－α)＝tanα πB.存在实数x0，使sinx0＝ 2C.对一切α，sin(180°－α)＝sinα D.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ [答案] A
π
[解析] 只有A、B两个选项中的命题是特称命题，而由于|sinx|≤1，所以sinx0＝不成立，2故B中命题为假命题.
又因为当α＝45°时，tan(90°－α)＝tanα，故A中命题为真命题.
7.判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假.
2
B.1 D.3
高中数学选修2-1课时作业 (1)存在一条直线，其斜率不存在；
(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解； 1
(3)存在实数x0，使得2＝2.
x0－x0＋1
解 (1)是特称命题，用符号表示为“?直线l，l的斜率不存在”，是真命题.
(2)是全称命题，用符号表示为“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题. 1
(3)是特称命题，用符号表示为“?x0∈R，2＝2”，是假命题.
x0－x0＋1二、能力提升 8.给出下列四个命题：
①a⊥b?a·b＝0；②矩形都不是梯形； ③?x，y∈R，x2＋y2≤1；
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1. 其中全称命题是. [答案] ①②④
[解析] ①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”. 9.对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是. [答案] (－∞，3]
[解析] 对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3. 10.下面四个命题：
①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2； ③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2. 其中真命题的个数为. [答案] 0
[解析] x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.
当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题. 对?x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题. 4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， 即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题. ∴①②③④均为假命题.
3
高中数学选修2-1课时作业12：1.4.1 全称量词-1.4.2 存在量词
