量子力学习题答案
2.1
如图所示
左
右 0 x 设粒子的能量为，下面就和
两种情况来讨论 （一）
的情形
此时，粒子的波函数
所满足的定态薛定谔方程为
其中
其解分别为
（1）粒子从左向右运动
右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性
得 得 解得
由概率流密度公式
入射
反射系数
透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程
解 反射系数
透射系数
（二）的情形
令,不变 此时，粒子的波函数
所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为
由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数
透射系数
(2) 粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程
由于全部透射过去，所以
反射系数 透射系数
2.2
如图所示
E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为
的方势垒的透射
系数为 总透射系数
2.3
以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1）
∞ ∞ 左 中 右 0 a x 显然
时只有中间有值
在中间区域所满足的定态薛定谔方程为
其解是
由波函数连续性条件得
∴
∴相应的
当，为任意整数， 则
当则
综合得 ，为任意整数， 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成
由波函数归一化条件得
∴当
时， ， 波函数
归一化后
所以波函数 当
时，（2） ∞ 左 ∞ ， 波函数归一化后
中 右 0 x 2.4
如图所示 ∞ 显然 时只有中间有值
在中间区域所满足的定态薛定谔方程为
左 中 右 0 a 显然
其解是
由波函数连续性条件得
所满足的定态薛定谔方程为 在中间和右边粒子的波函数
其中
其解为 由在右边波函数的有界性得为零 ∴ 再由连续性条件，即由
得 则
得 得 除以得 再由公式
,注意到
令 , 其中 ， 不同n对应不同曲线, 图中只画出了在的取值范围之内的部分
6 n=6 5 n=5 n=4
n=3
n=2 n=1 0 n=0 只能取限定的离散的几个值，则E也取限定的离散的几个值，
对每个E，确定 归一化条件得
2.5
则该一维谐振子的波函数的定态薛定谔方程为
令
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