开题报告
信息与计算科学
热传导方程差分格式的收敛性和稳定性
一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义
在实际研究物理问题过程中, 往往能给出问题相应的数学表达式, 但是由于实际物理问题的复杂性, 它的解却一般不容易求出. 由此计算物理应运而生, 计算物理是以计算机为工具, 应用数学的方法解决物理问题的一门应用性学科, 是物理、 数学和计算机三者结合的交叉性学科. 它产生于二战期间美国对核武器的研究, 伴随着计算机的发展而发展.
计算物理的目的不仅仅是计算, 而是要通过计算来解释和发现新的物理规律. 这一点它与传统的实验物理和理论物理并无差别, 所不同的只是使用的工具和方法. 计算物理早已与实验物理和理论物理形成三足鼎立之势, 甚至有人提出它将成为现代物理大厦的“栋梁”.
在一个物理问题中一个数值解往往比一个式子更直观, 更有价值. 在实际求解方程时, 除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外, 在一般情况下, 当方程或定解条件具有比较复杂的形式, 或求解区域具有比较复杂的形状时, 往往求不到, 或不易求到其精确解. 这就需要我们去寻找方程的近似解, 特别是数值近似解, 简称数值解. 这里主要研究的是热传导方程.
有限差分法是微分方程和积分微分方程数值解的方法. 其基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替, 这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似, 积分用积分和来近似, 于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组, 即有限差分方程组, 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解. 然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.
热传导的差分法是求解热传导方程的重要方法之一. 对于差分格式的的求解, 我们首先要关注差分格式的收敛性和稳定性. 对于一个微分方程建立的各种差分格式, 为了有实用意义, 一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程, 即相容性要求. 一个差分格
式是否有用, 就要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解, 即收敛性的概念. 此外, 还有一个重要的概念必须考虑, 即差分格式的稳定性. 因为差分格式的计算过程是逐层推进的, 在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值 , 直到与初始值有关. 前面各层若有舍入误差, 必然影响到后面各层的值, 如果误差的影响越来越大, 以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖, 这种格式是不稳定的, 相反如果误差的传播是可以控制的, 就认为格式是稳定的. 只有在这种情形, 差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解. 由Lax等价定理告诉我们, 对于各适定的线性的初值问题, 对相容性的差分逼近来说, 稳定性则是差分方程的解收敛于微分方程的解的充分必要条件. 收敛是差分方程的本质要求, 稳定是差分方程的基本特性, 对于计算的问题来说, 数值稳定性事差分格式必须要具备的条件, 一个不稳定的差分格式, 即使其他方面有很多的优点, 也是不能用来计算的. 可见由于收敛性和稳定性的重要性, 对于他们的研究是非常具有价值的. 热传导方程：
2?u?2u?2u?2??u?a?2?2?2?. ?t?z???x?y 一维热传导方程的初边值问题：
2??u2?u??t?a?x2?0(0?x?l,t?0),??u ??(x)(0?x?l), ?t?0????u x?0??1(t),u x?l??2(t)(t?0).nn
??2u??u(x,t)??u?n用uj, ?, 及分别表示初边值问题的解及其偏导数及u(x,t)?2???x?t??t?j??j?2u(x,t)在点(xj,tn)之值, (xj,tn)表示求解区域内网格节点. 当初边值问题的解在2?x区域内部适当光滑时, 对任一区域内部的节点(xj,tn)利用泰勒展开公式, 然后化简得到显示差分格式：
?1nnn?Un?UnU?2U?Ujjj?1jj?1?a2?0,?2?t(?x)??0 ?Uj??(j?x)(j?1,???,J?1),??nn??U0??(n?t),UJ??2(n?t)(n?0,1,2,???).
这里由于差分方程的解U与原初边值问题的解u一般是不同的, 故用不同的记号表示.
明显的用上式近似热传导方程的初边值问题, 所忽略掉的项, 即截断误差是
O(?t)?O((?x)2). 记??a2 其隐式格式：
?t (?x)2
?1n?1n?1n???Un?(1?2?)U??U?Uj?1jj?1j,??0 ?Uj??(j?x)(j?1,???,J?1),?nnU??(n?t),U??2(n?t)(n?0,1,2,???).?01J? 其中??a
2?t. (?x)2二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题
研究的基本问题：热传导方程差分格式的收敛性和稳定性 解决的主要问题：1.收敛性的证明 2.稳定性的证明 3.收敛性和稳定性的总结
三、研究步骤、方法及措施
研究步骤: 1.查阅相关资料,做好笔; 2.仔细阅读研究文献资料;
3.在老师指导下,确定整个论文的思路,列出论文提纲,撰写开题报告; 4.翻译英文资料;
5.开题报告通过后,撰写毕业论文; 6.上交论文初稿;
7.反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述;
8.论文定稿．
方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 到数据库查找文章, 参考相关内容．在老师指导下, 与同组同学研究讨论, 用推理论证的方法来解决问题．
四、参考文献
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热传导方程差分格式的收敛性和稳定性【开题报告】
