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专题39 数列与数学归纳法
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数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.
1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明
2、第一数学归纳法：通过假设n?k成立，再结合其它条件去证n?k?1成立即可.证明的步骤如下： （1）归纳验证：验证n?n0（n0是满足条件的最小整数）时，命题成立
（2）归纳假设：假设n?k?k?n0,n?N?成立，证明当n?k?1时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：n?n0,n?N时，命题均成立 3、第一归纳法要注意的地方：
（1）数学归纳法所证命题不一定从n?1开始成立，可从任意一个正整数n0开始，此时归纳验证从n?n0开始
（2）归纳假设中，要注意k?n0，保证递推的连续性
（3）归纳假设中的n?k，命题成立，是证明n?k?1命题成立的重要条件.在证明的过程中要注意寻找
n?k?1与n?k的联系
4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n?k命题成立时，可用的条件只有而不能默认其它n?k的时依然成立.第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假n?k，
设n?k，命题均成立，然后证明n?k?1命题成立.可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下： （1）归纳验证：验证n?n0（n0是满足条件的最小整数）时，命题成立
（2）归纳假设：假设n?k?k?n0,n?N?成立，证明当n?k?1时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：n?n0,n?N时，命题均成立.
5.注意点：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳法，确认n的初始值n0不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.
唐玲
【经典例题】
例1.【2019届重庆市第一中学5月月考】已知为正项数列的前项和，，记数
列的前项和为，则的最小值为______.
【答案】
【解析】分析：由题意首先求得，然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可.
详解：由题意结合，
以下用数学归纳法进行证明： 当假设当
时，结论是成立的， 时，数列的通项公式为：
，则
，
由题意可知：，
结合假设有：
综上可得数列的通项公式是正确的. 据此可知：
，
，
，解得：，
唐玲
利用等差数列前n项和公式可得：，
则，
结合对勾函数的性质可知，当或时，取得最小值，
当时，
当时，
由于，据此可知的最小值为.
点睛：本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式.归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 例2. 设Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn＝2an－2 (n∈N) （1）求
的值，并由此猜想数列{an}的通项公式an；
*
（2）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想． 【答案】（1）
；（2）见解析.
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×a4－2，∴a4＝16. 由此猜想：
(n∈N)．
*
(2)证明：①当n＝1时，a1＝2，猜想成立．
唐玲
②假设n＝k(k≥1且k∈N)时，猜想成立，即那么n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2ak＋1－2ak ∴ak＋1=2ak
，
*
，
这表明n＝k＋1时，猜想成立， 由①②知猜想
成立．
点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
例3．已知数列满足：，.
（Ⅰ）试求数列，，的值； （Ⅱ）请猜想【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
的通项公式，并运用数学归纳法证明之.
，
，
.
，证明见解析.
由此猜想
.
下面用数学归纳法证明之： 当假设则对于
时，
时，结论成立，即有
时，
，结论成立；
，
唐玲
∴当
时，结论成立.
，
成立
综上，可得对
点睛：运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题： 1、第一步：归纳奠基（即验证第二步：归纳递推（即假设3、两个条件缺一不可，在验证前面的完全一致.
时成立）； 时成立，验证
时成立）；
时的结论，最后得到的形式应与
时成立时一定要用到归纳假设
例4.【2019届浙江省温州市高三9月一模】已知数列中，，（）．
（1）求证：；
（2）求证：是等差数列；
（3）设，记数列的前项和为，求证： ．
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法可证明；（2）化简，由
可得是等差数列；（3）由（2）可得，从而可得
，先证明
论.
，利用放缩法及等比数列求和公式可证结
唐玲
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