２009—2０1０学年第一学期
《高等数学Ｉ(一)》课程考试试卷(Ａ卷)参考答案及评分标准
注意：1、本试卷共 3 页; 2、考试时间120分钟
３、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名:
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分
阅卷人 得分
一、填空题(共５个小题，每小题２分，共1０分）.
1.设f?x??tlim?????x?t?1?t???x?0?，则f(ln3)? 3 .
2.设ex?sinx是f?x?的一个原函数，则f'?x?= ex?sinx ．
3.曲线y?x3?6x2?16的拐点坐标是 ??2,0? . 4．若?0A1??1?x2dx?2,则A? 1? ．
5.lim(x?2x?2)cos1x?2? 0 .
阅卷人 得分
二、单项选择题(共10个小题，每小题２分,共20分）. 将每题的正确答案的代号A、B、C或D填入下表中.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 １0 答案 D Ｃ B C Ｃ C B Ｃ A A 1．已知函数f?x?的定义域为??1,2?,则函数F?x??f?x?2??f?2x?的定义域为（ ）. A.??3,0?； B.??3,1?; C．?1???2,1???； D．?1????2,0??.
2.x?3是函数f(x)?arctan13?x的（ )．
A.连续点； B.可去间断点; C.跳跃间断点; D．第二类间断点．
--
3．当x?0时，eax?1与sin2x等价，则a?（ ). Ａ.1 ； B．２ ； Ｃ.?2 ; D.12. ?4.函数f?x????x2sin1,x?0 在x?0处( ?x ). ?0,x?0 A．有定义但不连续； Ｂ．连续但不可导; C．连续且可导; D．不连续且不可导．
5.下列等式中正确的是（ ).
A.
dbdx?af?x?dx?f?x?; Ｂ． ddx?xaf?x?dx?f?x??f?a?;
C．ddx?f?x?dx?f?x?； Ｄ.
?f??x?dx?f?x?.
6.函数f?x??x1?x2( )．
A．在???,???内单调增加; B．在???,???内单调减少; C.在??1,1?内单调增加; Ｄ．在??1,1?内单调减少.
7．若f?u?可导，且y?f?ex?,则( ）.
A.dy?f??ex?dx; B.dy?f??ex?exdx;
C.dy?f?ex?exdx； D.dy??xx?f?e????edx．
８.
?2 ).
0|x?1|dx?（ A.0 ; B．２ ; C．1 ; D.?1．
9.方程y????sinx的通解是( ). A.y?cosx?112C1x2?C2x?C3； B.y?sinx?2C1x2?C2x?C3； C.y?cosx?C1; D.y?2sin2x．
10.曲线y?ex与该曲线过原点的切线及y轴围成的图形的面积为（ ）. A.?10(ex?ex)dx ； B．
?e1(lny?ylny)dy; C.?e(ex1?xex)dx ； D．
?10(lny?ylny)dy．
--
--
阅卷人 得分
三、解下列各题（每小题６分,共12分).
d2ydtsint?tcostsin2t?tsintcost? . 6分 ??2dxcostcostdxsintdtdy? 1.计算xlim???x?x2?1?x?.
解：2xlim???x?x?1?x?
?limxx???x2?1?x 3分
?12 . ６分 1２．计算lim??2?x?xx?0?2?x??．
12?x2x解：lim?x?0?2?x?x?2x?2x?x?2?x??2?x???limx?0??1?2?x?? ３分 lim2x ?ex?0x?2?x??e1?e . 6分
阅卷人 得分
四、解下列各题(每小题6分，共12分).
1.已知y3?x3?3xy?6y?7?0,求
dydx．
x?2解:两边分别对x求导,得
3y2dydx?3x2?3y?3xdydx?6dydx?0, ３分 当x?2时,y??1，代入上式，得
dydx??3. 6分
x?22. 设函数y?y(x)由参数方程??x?lnsintdyd2y?cost?tsint所确定，求和?ydxdx2.
dydy解：?sint?sint?tdx?dtdx?costcost?tsint 3分 dtsint
阅卷人 得分 五、解下列各题（每小题6分，共18分).
x?(arctanx)21． 计算?1?x2dx. 解：?x?(arctanx)21?x2dx??x?arctanx?21?x2dx??1?x2dx ?1d1?x22???1?x2???arctanx?2d?arctanx? 3分
?112ln?1?x2??3?arctanx?3?C ． ６分
x2?t)dt２.计算lim?0ln(1x?0x4．
x2解：lim?0ln(1?t)dt2xln?1?x2?x?0x4?limx?04x3 3分
lim?x2 ?1x?02x2??2 . 6分
?3. 计算
?2x0e2cosxdx.
????解:
?2e2xcosxdx??2e2x2x22x00d?sinx????esinx??0?2?20esinxdx ２分????e??2?2e2xd?cosx??e??2??e2xcosx??200?4?22x0ecosxdx
??e??2?4?20e2xcosxdx5分
??
?22x0ecosxdx?15?e??2? . --
6分
--
阅卷人 得分 六、（本题1０分). 即当割去扇形的中心角为2??最大容积为26?时，圆锥的容积最大， 323?R3. 10分
设曲线y?f(x)上任意一点(x,y)处的切线斜率为yx?x2，且该曲线经过点???1,1?2??,
(１)求函数y?f(x)；
(2）求曲线y?f(x)，y?0,x?1所围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积．
解：（1）y??yx?x2,即y??yx?x2,且当x?1时，y?12, 2分
与之对应的齐次线性微分方程的通解为y?Cx， 令y?u?x?x,将其代入非齐次线性方程得u??x,所以u?12x2?C, 所以非齐次线性微分方程的通解为y?Cx?132x,代入初始条件得C?0, 故所求函
数
为
y?12x3. 6分
?1?x32 (2)V??0???dx?? . １0分?2?28阅卷人 得分
七、(本题１0分).
由半径为R的圆上，割去一个扇形，把剩下的部分围成一个圆锥，试求割去扇形的中心角，使圆锥S的容积为最大.
解：设留下的扇形的中心角为?，圆锥的高为h，底面半径为r，则其容积V为
V?13?r2h,又2?r?R?，h?R2?r2，
故V?R324?24?2?4??6?0???2?? ４分 R38?2V????3?324?2? 64?2??2分 令 V??0得??263?， 当0???263?时,V??0，当263????2?时，V??0， 因此??26263?为极大值点,又驻点唯一，从而??3?也是最大值点． 8分
27
阅卷人 得分
八、(本题8分).
证明：方程3x?1??x1?t4dt?0在区间(0,1)内有唯一实根. 01 证明:令f?x??3x?1??x101?t4dt,
则f?0???1?0， f?1??2??1101?t4dt?0， 由零点定理知，至少存在一点???0,1?，使f????0. 由 f ??x?? 3?11? x4?0， x??0,1 ? ，
知f?x?在(0,1)内单调增加,
所以方程3x?1??x1dt?0在区间(0,1)内有唯一实根. 01?t4--
4分 8分
高等数学(上)期末试卷(五)
