函数与方程思想在高中数学竞赛中的应用

函数与方程思想在高中数学竞赛中的应用

●姚 恒

【摘 要】函数思想是对函数概念的本质认识，在解题时要善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。方程思想是动中求静，是研究运动中的等量关系，在解题时要善于利用方程或方程组的观点观察、处理问题。函数与方程是2个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，有时需要互相转化，达到解决问题的目的。

【期刊名称】中学教研：数学版 【年(卷),期】2009(000)006 【总页数】3

【关键词】方程思想;函数概念;高中数学;应用;赛中;本质认识;函数思想;函数观点

函数思想是对函数概念的本质认识，在解题时要善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.方程思想是动中求静，是研究运动中的等量关系，在解题时要善于利用方程或方程组的观点观察、处理问题.函数与方程是2个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，有时需要互相转化，达到解决问题的目的.譬如,方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0，通过方程进行研究.函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高中数学高考和竞赛的重点和难点.

1 函数与方程思想的本质

函数问题(例如求反函数，求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题，用函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、凹凸性、

最值等)来解题，例如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点.

例1 设函数y=f(x)=(x∈R且x≠,n∈N*)的最小值为an,最大值为bn,记cn=(1-an)(1-bn),则数列{cn} ( )

A．是公差不为0的等差数列 B．是公比不为1的等比数列 C．是常数列

D．不是等差数列也不是等比数列

分析 本题是以函数为背景的最值问题，但是解决问题的关键是把函数问题转化为方程问题，是在函数中渗透方程思想的典型例题. 解 由y=(x∈R且x≠,n∈N*)，得 因为x≠，所以y≠1.由Δ≥0,得 3y2-(4n+6)y+(4n-1)≤0， 于是

an+bn=,anbn=， 得 cn=-. 故选C.

2 函数与方程思想的应用

2.1 函数与方程思想在不等式问题中的应用

函数与方程思想与不等式也可以相互转化.对于函数y=f(x)，当ygt;0时，就可

转化为不等式f(x)gt;0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.

例2 设函数f(x)=ax2+8x+3(alt;0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在区间[0,l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立，问a为何值时，l(a)最大？求出最大的l(a)，并证明你的结论．

分析 在高中数学竞赛中,对二次函数知识的综合、灵活运用要求较高，在运用二次函数知识时往往牵涉到二次函数图像、二次方程、二次不等式. 解 由|f(x)|≤5得 -5≤ax2+8x+3≤5， 则

ax2+8x+8≥0, (2)

ax2+8x-2≤0. (3)

由式(2)，得 Δ=64-32agt;0， 因此 --≤x≤-+.

取从0开始的非负解区间(不间断)为 0≤x≤-+.

对于式(3)，有2种情况: