第三节 简单的逻辑联结词、 全称量词与存在量词 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2.理解全称量词与存在量词的意义． 3.能正确地对含一个量词的命题进行否定. 突破点一 简单的逻辑联结词
[基本知识]
命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 綈p 假 假 真 真 简记为“p∧q两真才真,一假则假；p∨q一真则真,两假才假；綈p与p真假相反”．
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若命题p∧q为假命题,则命题p,q都是假命题．( ) (2)命题p和綈p不可能都是真命题．( )
(3)若命题p,q至少有一个是真命题,则p∨q是真命题．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题
1．已知全集U＝R,A?U,B?U,如果命题p：3∈(A∪B),则命题“綈p”是________________．
答案：3∈(?UA)∩(?UB)
2．“p∨q”为真是“p∧q”为真的____________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)．
答案：必要不充分
3．已知p：x2－x≥6,q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题,则x的值组成的集合为____________．
解析：因为“p∧q”为假,“綈q”为假,所以q为真,p为假．
2???x－x<6，?－2 因此,x的值可以是－1,0,1,2. 答案：{－1,0,1,2} [全析考法] 考 法 一 含 逻 辑 联 结 词 复 合 命 题 的 真 假 判 断 [例1] (2024·唐山五校联考)已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题q：?x∈R,|x＋1|≤x,则( ) A．(綈p)∨q为真命题 C．p∧q为真命题 B．p∧(綈q)为假命题 D．p∨q为真命题 [解析] 由题意可知命题p是真命题．因为|x＋1|≤x的解集为空集,所以命题q是假命题,所以p∨q为真命题,故选D. [答案] D [方法技巧] 判断含逻辑联结词复合命题真假的步骤 (1)定结构：确定复合命题的构成形式． (2)辨真假：判断其中简单命题的真假性． (3)下结论：依据真值表判断复合命题的真假． 考 法 二 根 据 复 合 命 题 的 真 假 求 参 数 [例2] (2024·山西五校联考)已知p：关于x的不等式ax>1(a>0且a≠1)的解集是{x|x>0},q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,则实数a的取值范围为________． [解析] 若关于x的不等式ax>1(a>0且a≠1)的解集为{x|x>0},则a>1；若函数y＝lg(ax2 ??a>0，1－x＋a)的定义域为R,则?解得a>.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则p,q 2??Δ＝1－4a2<0， a>1，a≤1，????1一真一假,则?1或?1即 2 ???a≤2?a>2，1 ，1? [答案] ??2?[方法技巧] 根据复合命题真假求参数的步骤 (1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况,从而求出参数的取值范围． [集训冲关] 1.[考法一]已知命题p：对任意的x∈R,总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( ) A．p∧q C．(綈p)∧q B．(綈p)∧(綈q) D．p∧(綈q) 解析：选D 由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条 件,所以命题q是假命题．由复合命题真值表可知p∧(綈q)是真命题,故选D. 2.[考法二]已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点；命题q：函数y ＝x2 －a 在(0,＋∞)上是减函数．若p∧(綈q)为真命题,则实数a的取值范围是( ) B．(－∞,2] D．(－∞,1]∪(2,＋∞) A．(1,＋∞) C．(1,2] 解析：选C 对于命题p,令f(0)·f(1)<0,则－1·(2a－2)<0,解得a>1；对于命题q,令2－a<0,则a>2,故綈q对应的a的取值范围是(－∞,2]．因为p∧(綈q)为真命题,所以实数a的取值范围是(1,2]．故选C. 3.[考法二]已知p：若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋m,则数列{an}是等差数列,当綈p是假命题时,则实数m的值为________． 解析：由于綈p是假命题, 所以p是真命题． 由 Sn＝n2＋m,得 ??1＋m，n＝1， an＝? ??2n－1，n>1， 所以1＋m＝2×1－1, 解得m＝0. 答案：0 突破点二 全称量词与存在量词 [基本知识] 1．全称量词和存在量词 量词名称 全称量词 存在量词 常见量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 符号表示 ? ? 2.全称命题和特称命题 名称 全称命题 特称命题
2024理数第一章 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
