∵F，H，G分别是DE，AE，BD的中点，
11
∴FH＝AD，FH∥AD，FG＝BE，FG∥BE，∴EH＝FG.
22∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，∴(1)中结论还成立．
(3)(1)中的结论仍成立，
理由：如图，连接AD、BE，两线交于点Z，AD交BC于点X. 11
同(1)可得FH＝AD，FH∥AD，FG＝BE，FG∥BE.
22
∵△ECD，△ACB都是等腰直角三角形，∴CE＝CD，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90°. ∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE，∠EBC＝∠DAC，∴FH＝FG. ∵∠DAC＋∠CXA＝90°，∠CXA＝∠DXB，
∴∠DXB＋∠EBC＝90°，∴∠EZA＝180°－90°＝90°，∴AD⊥BE. ∵FH∥AD，FG∥BE，∴FH⊥FG，∴(1)中的结论仍成立．
23．(本题14分)综合与探究：
13
如图，二次函数y＝－x2＋x＋4的图象与x轴交于点B，点C(点B在点C的左边)，与y轴交于点A，连
42接AC、AB.
(1)求证：AO2＝BO·CO；
(2)若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作MN∥AC，交AB于点M，当△AMN的面积取得最大值时，求直线AN的解析式；
(3)连接OM，在(2)的结论下，试判断OM与AN的数量关系，并证明你的结论．
13
解：(1)证明：当y＝0时，－x2＋x＋4＝0，
42
整理，得x2－6x－16＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴B(－2，0)，C(8，0)． 令x＝0得y＝4，∴A(0，4)，∴AO＝4，BO＝2，CO＝8，∴AO2＝BO·CO. (2)设点N(n，0)(－2＜n＜8)，则BN＝n＋2，CN＝8－n，BC＝10. AMCN8－n1
∵MN∥AC，∴＝＝，S△ABN＝×(n＋2)×4＝2n＋4.
ABBC102
S△AMNAMCN8－n
＝＝＝，
10S△ABNABCB
8－n8－n1
∴S△AMN＝S△ABN＝×(2n＋4)＝(8－n)(n＋2)，
101051
即S△AMN＝－(n－3)2＋5.
5
1
∵－<0，∴当n＝3时，即N(3，0)，△AMN的面积最大．
5设直线AN的解析式为y＝kx＋b.将A(0，4)，N(3，0)代入，得
???k＝－3，?4＝b，
?解得? ?0＝3k＋b.??
?b＝4，
4
∴此时直线AN的解析式为y＝－x＋4.
3
(3)OM2＝AN.证明：∵N(3，0)，∴ON＝3，∴CN＝8－3＝5. ∵BC＝10，∴N为线段BC的中点，
∵MN∥AC，∴M为AB的中点，∴AB＝42＋22＝20＝25. 1
∵∠AOB＝90°，∴OM＝AB＝5，
2∵AN＝OA2＋ON2＝42＋32＝5，
∴OM2＝AN，即OM与AN的数量关系是OM2＝AN.
4
（精品）2018-2019学年人教版初三数学上期中测试（有答案）
