高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系
数的性质练习含解析新人教A版选修231105122
[A 基础达标]
1?3?*
x＋1.若?2?(n∈N)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )
x??A．210 C．462
B．252 D．10
n解析：选A．由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C10＝210.
2.(1＋x)(3－x)的展开式中各项系数的和为1 024，则n的值为( ) A．8 C．10
nn6
B．9 D．11
n＋1
解析：选B．由题意知(1＋1)(3－1)＝1 024，即2
n＝1 024，所以n＝9.故选B．
3.(2019·烟台高二检测)已知(1＋x)的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．2 C．2
n1012
B．2 D．2
3
7
9
11
解析：选D．因为(1＋x)的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以Cn＝Cn，解110109
得n＝10，所以二项式(1＋x)的展开式中奇数项的二项式系数和为×2＝2.
2
4.已知(3－x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋anx，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)an＝( )
A．32 C．128
1
3
n2nnB．64 D．256
解析：选D．由题意可得Cn＝Cn，所以n＝4.
令x＝－1，则(3－x)＝(3＋1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝256. 所以a0－a1＋a2＋…＋(－1)an＝256.
5.设(1＋x＋x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a2nx，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于( ) A．2 C．2
n＋1n2n2
2nn4
n3－1B． 23＋1D． 2
nnn
解析：选D．令x＝1得3＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n.①
- 1 -
令x＝－1得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n.② ①＋②得3＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)， 3＋1
所以a0＋a2＋…＋a2n＝.故选D．
2
6.已知(a－x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a5x，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________. 解析：展开式的通项为Tr＋1＝(－1)C5·a令r＝2，则a2＝(－1)C5·a＝80， 即a＝2，
故(2－x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a5x，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a5＝1. 答案：1
7.若(1＋2)＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝________.
解析：因为(1＋2)＝C5(2)＋C5(2)＋C5(2)＋C5(2)＋C5(2)＋C5(2) ＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292， 由已知可得41＋292＝a＋b2， 所以a＋b＝41＋29＝70. 答案：70
8.(x＋1)(x－2)＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)＋a3(x－1)＋…＋a11(x－1)，则a1＋a2＋a3
＋…＋a11的值为________.
解析：令x＝1，得a0＝－2. 令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0. 所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2. 答案：2
9.设(2－3x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a100x，求下列各式的值： (1)a0；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)； (5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|. 解：(1)令x＝0，可得a0＝2. (2)令x＝1，可得
100
2
2
100
2
100
2
9
2
3
11
5
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
5
5
2
5
22
3
5
2
5
nnrr5－r·x，
ra0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100，(*)
所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)－2. (3)令x＝－1.
可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3).
- 1 -
100
100
100
与(*)式联立相减得
（2－3）－（2＋3）
a1＋a3＋…＋a99＝. 2
(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋
100
100
a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－3)(2＋3)]100＝
1＝1.
(5)因为Tr＋1＝(－1)C1002所以a2k－1<0(k∈N).
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3).
5?33?n?31?
10.已知?－a?的展开式的各项系数之和等于?4b－?的展开式中的常数项，
5b??a??求：
100
*
100
rr100－r(3)x.
rr?33?n(1)?－a?展开式的二项式系数和； ?a??33?n－1
(2)?－a?展开式中含a项的二项式系数. ?a?
5?33?n?31?nn解：依题意，令a＝1，得?－a?展开式中各项系数和为(3－1)＝2，?4b－?5b??a??1?rrr5－r?rr5－r展开式中的通项为Tr＋1＝C5(4b)?－?＝(－1)C54·5－2b5b??
3
10－5r6.
10－5r223－17
若Tr＋1为常数项，则＝0，即r＝2，故常数项为T3＝(－1)C5·4·5＝2，
6于是有2＝2，得n＝7.
n7
?33?nn7
(1)?－a?展开式的二项式系数和为2＝2＝128. ?a?
3?7－r?33?73rrr?r7－r(2)?－a?的通项为Tr＋1＝C7??·(－a)＝C7(－1)·3·a?a??a?令
5r－21
＝－1，得r＝3， 6
－1
3
5r－216，
所以所求a项的二项式系数为C7＝35.
[B 能力提升]
11.若(1－2x)A．2
2 017
＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017
(x∈R)，则＋2＋…＋2 017的值为( )
222B．0
- 1 -
a1a2a2 017
C．－2
解析：选D．(1－2x)
2 017
D．－1
＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017
1
，令x＝，
2
12 017a1a2a2 017
则(1－2×)＝a0＋＋2＋…＋2 017＝0，
2222其中a0＝1，所以＋2＋…＋2 017＝－1.
222
12.(a＋x)(1＋x)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________. 解析：设(a＋x)(1＋x)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x. 令x＝1，得(a＋1)×2＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，所以 a＝3. 答案：3
2
2n13.已知(x3＋3x)的展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项.
解：(1)令x＝1，则展开式中各项系数的和为(1＋3)＝2，又展开式中二项式系数的和为2，
所以2－2＝992，解得n＝5，
所以展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， 223226
所以T3＝C5(x3)(3x)＝90x， 222223
T4＝C35(x3)(3x)＝270x3.
(2)设展开式中第r＋1项系数最大， 210＋4r5－r2rrr则Tr＋1＝C5(x3)(3x)＝3C5x3，
r2n44
2
3
4
5
4
a1a2a2 017
n2nnn??3C5≥3C5，79所以?rr?≤r≤，又r∈N，所以r＝4. r＋1r＋1
22?3C5≥3C5?
rrr－1r－1
即展开式中第5项系数最大， 226
24
T5＝C45(x3)(3x)＝405x3.
14.(选做题)在杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示.
- 1 -
(1)利用杨辉三角展开(1－x)；
(2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是3∶4∶5？
解：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，可写出第6行的二项式系数为1，6，15，20，15，6，1，所以(a＋b)＝a＋6ab＋15ab＋20ab＋15ab＋6ab＋b.
令a＝1，b＝－x，得(1－x)＝1－6x＋15x－20x＋15x－6x＋x.
(2)设在第n行出现的三个相邻的数的比是3∶4∶5，并设这三个数分别是Cn，Cn，Cn，
k－1
kk＋1
6
2
3
4
5
6
33
24
5
6
6
6
5
42
6
??则有?4C
??5＝C
3Cn＝k，4Cnknk＋1nk－1
，3n！k！（n－k）！＝×，??4（k－1）！（n＋1－k）！n！
所以?
4n！（k＋1）！（n－1－k）！
，??5＝k！（n－k）！×n！3k＝??4n＋1－k，??3n－7k＝－3，
所以?即?
?4k＋14n－9k＝5，?
＝，??5n－k??n＝62，
所以?
?k＝27，?
即在第62行会出现C62∶C62∶C62＝3∶4∶5.
262728
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高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质练习含解析新人教A版选修2311051
