2011年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）
数学部分
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题
1．设复数z满足|z|<1且|z?15|?则|z| ＝ ( ) z24321A????????B????????C????????D? 54322．在正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为2.则异面直线DM与AN所成角的余弦为( )
1111A????????B????????C????????D? 368123．已知y?x?x?2x?1，过点(－1, 1)的直线l与该函数图象相切，且(－1, 1)不是切点，则直线l的斜率为 ( ) A?2??????B1???????C??1???????D??2
4．若A?B?322?，则cos2A?cos2B的最小值和最大值分别为 ( ) 3A1??33133312?,?????B?,??????C1??,1????????D?,1? 22222222
6．已知异面直线a，b成60°角.A为空间一点则过A与a，b都成45°角的平面 ( )
A.有且只有一个 B.有且只有两个 C.有且只有三个 D.有且只有四个
7．已知向量a?(0,1),b?(?3131,?),c?(,?),xa?yb?zc?(1,1)则2222x2?y2?z2 的最小值为( )
43A1????????B????????C????????D?2
328．AB为过抛物线y2＝4x焦点F的弦，O为坐标原点，且?OFA?135，C为抛物线准线与x轴的交点，则?ACB的正切值为 ( )
A?22???????B?424222???????C????????D? 533
10．一个正11边形用对角线划分为9个三角形，对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）
A. 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 B. 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C. 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形 D. 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
二、解答题
12.已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）.质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处.
（I）若b ＝ 3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （II）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？
13.已知函数f(x)?2x121，f(1)?1，f()?.令x1?，xn?1?f(xn). ax?b232
(I)求数列{xn}的通项公式；
(II)证明x1x2xn?1?1. 2ex2y214.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0),F1,F2分别为C的左右焦点.P为C右支上一点，
ab且使?F1PF2=?3,又?F1PF2的面积为33a2.
(I)求C的离心率e ；
(II)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得
?QF2A???QAF2恒成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
15.将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率. (I)求p1，p2，p3，p4；
(II)探究数列{ pn}的递推公式，并给出证明；
(III)讨论数列{ pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.
2011年华约数学参考答案
一、选择题
DBCBB BBADD
二、解答题
11解：（I）tanC??tan(A?B)?tanA?tanB，整理得
tanAtanB?1tanAtanBtanC?tanA?tanB?tanC
（II）由已知3tanAtanC?tanA?tanB?tanC，与（I）比较知tanB?3，B=又
?3.
11224????sin2Asin2Csin2Bsin2?33，
sin2A?sin2C4?sin2Asin2C3，
3sin(A?C)cos(A?C)1?，而sin(A?C)?sinB?，
2cos2(A?C)?cos2(A?C)31cos2(A?C)?cos2B??，代入得2cos2(A?C)?1?3cos(A?C)，
2 4cos(A?C)?3cos(A?C)?1?0，cos(A?C)?1，?2A?C61?1， ，cos24412解：不妨设水杯高为1.
（I）这时，水杯质量 ：水的质量 ＝ 2 ：3.水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的
距离）为
11，水的重心位置为，所以装入半杯水的水杯的重心位置为24211?324?7 2?320(II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上.设装x克水.这时，水杯质量 ：水的质量 ＝ a ：x.水杯的重心位置为
1xx，水的重心位置为，水面位置为，于是22bb1x?x22b?x，解得x?a2?ab?a a?xb122x13解 由f(1)?1 ，f()?得a?b?1，f(x)?23x?1a2n?11248(I)方法一：先求出x1?，x2?，x3?，x4?，猜想xn?n?1.用数学归纳法证
2?123592k?1明.当n = 1显然成立；假设n = k成立，即xk?k?1，则
2?12xk2k，得证. xk?1?f(xk)??kxk?12?1 (II)方法一：证明
1x1x2xn?1?2e.事实上，
1x1x2nxn?111?2(1?)(1?)24(1?1). 2n我们注意到1?2a?(1?a)2，，（贝努利（Bernoulli）不等式的一般形式： 1?2na?(1?a)2，
(1?x)n?1?nx，x?(?1,??)）
于是
1x1x2xn?1?2(1?12n?1?)2n?2?1?2(1?12n?112n)?2(1?)?2e 2n2n14解：(I)如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F1 F2中，
?F1PF2=，?F1PF2的面积为33a2，E为PF1上一点，
3cPE ＝ PF2，E F1 ＝2a，F1 F2 ＝ 2c，求.设PE ＝ PF2
a＝ EF2 ＝ x，F F2 ＝
?3x， 2E 2a F1 P F P 2c x F2S?F1PF2?113PF1FF2?(x?2a)x?33a2 ，222x2?4ax?12a2?0，x?2a.
ΔE F1 F2为等腰三角形，?EF1F2?(II) ??2?c，于是2c?23a，e??3.
a31 215分析与解：
17?；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正88313正正或正正正反或反正正正，故p4?1??.
16161(II)共分三种情况：①如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面的概率?Pn?1；
2(I)显然p1＝p2＝1，p3?1?②如果第n次出现正面，第n－1次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前n－2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是
1?Pn?2；③4如果第n次出现正面，第n－1次出现正面，第n－2次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前n－3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是?Pn?3.
18111，④ ?Pn?1??Pn?2??Pn?3.（n?4）
248111(III)由(II)知Pn?1??Pn?2??Pn?3??Pn?4，（n?5）⑤，
24811
?Pn?4（n?5） ④－×⑤，有Pn?Pn?1?216所以n?5时，pn的单调递减，又易见p1＝p2＞p3＞p4＞….
综上，Pn?n?3时，pn的单调递减，且显然有下界0，所以pn的极限存在.对Pn?Pn?1?边同时取极限可得limpn?0.
n???1?Pn?4两16
华约自主招生数学试题及详解
