奥数系列讲座——
温馨提示
为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创
奥数系列讲座——
组合数论1-3（质数与互质）
●冯跃峰
本讲内容
本节为第3板块（组合数论）第1专题（质数与互质）的第3小节，包含如下3个部分内容：
第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；
第二部分，思维过程剖析。这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；
第三部分，详细解答展示。提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、简练。
注：此为简要版，其中第二部分被省略，完整内容见付费版。【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创
【反面思考】所谓反面思考【1】，就是考虑与原来问题相反的问题，由此发现解题途径。它包括以下三个方面：考察表述（条件、结论）的反面三种反面思考方式
考察剩余对象（补集思考、反面剔除）逆转程序（逆推）其中考察结论的反面【1】，就是我们常说的“反证法”。大家是否思考过这样的问题：为什么有些问题，从正面论证不能成功，而反面论证却能获解■？【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创
【反证法的“本质”】所谓反证法的“本质”【1】，就是人为地增加了条件。
一个不起眼的“反设”（假定结论不成立），却含有丰富的内容！它扩充了条件系统，通常可导出有用的性质，而这个性质在解题中有着至关重要的作用。
一个问题，能不能用反证法求解，其试金石就是看其“反设”能否导出有用的性质。值得指出的是，解题中有些“反证法”是非本质的，因为从正面也可以完成解题。此时的“反证法”，仅仅为了使表述简单而采用反面推理模式而已。比如，解答中诸如“如果…，则结论成立”之类的分类讨论太多，过程冗长。而“假设结论不成立”，使这些“如果…【百度文库】”都不复存在，可大大简化讨论■。跃峰奥数PPT经典原创【新写】先证明如下两个引理（证明见前面分析部分）。引理1：对u、v∈R，||u+v||≤||u||+||v||。【找充分条件，由引理1可知，||Σi=1nui||≤Σi=1n||ui||。发掘引理】再结合||-x||=||x||，对任何k∈Z，x∈R，有||kx||≤|k|·||x||。引理2：存在常数p1，p2，…，pn，使Σi=1npiai=1，且|pi|≤a=max{ a1，a2，…，an}。解答原题：如果n>（m+1）/2，但a1，a2，…，an∈[1，m]中，必定有2个相邻自然数，设为a2-a1=1。由引理1，有||a1x||+||a2x||≥||a2x-a1x||=||x||，【角色分析，不妨设||a1x||≥||a2x||，则||a1x||≥||x||/2≥2||x||/[m（m+1）]，结论成立。发现同构】如果n≤（m+1）/2，因为（a1，a2，…，an）=1，存在常数p1，p2，…，pn，使Σi=1npiai=1，且|pi|≤a=max{ a1，a2，…，an}。于是，对任意实数x，有Σi=1npiaix=x，所以结合引理1，有||x||≤Σi=1n|pi|·||aix||≤Σi=1na·||aix||≤mΣi=1n||aix||。【整体思考，由条【百度文库】于是，一定存在ai（1≤i≤n），使得跃峰奥数PPT件凑黑箱】||aix||≥||x||/mn≥2||x||/[m（m+1）]，结论成立。■■经典原创
跃峰奥数PPT3组合数论1-3(质数与互质)简要版
