考点40 直线方程
【题组一 斜率与倾斜角】
1.直线3x?y?1?0的倾斜角为 。 【答案】60?
【解析】由直线3x?y?1?0,得直线的斜率为3,
设直线的倾斜角为?(0???180?),由tan??3,得??60?.
2.直线l1:2x?y?1?0与直线l2:x?2y?1?0的夹角为______________. 【答案】90?
【解析】由直线l1:2x?y?1?0与直线l2:x?2y?1?0的方程可知,
两直线的斜率分别为:k1?2,k2??故答案为:90?.
1,∴k1k2??1,∴l1?l2,∴两直线的夹角为90?. 23.已知直线l过点P(1,0)且与以A(2,1),B(4,?3)为端点的线段AB有公共点,则直线l倾斜角的取值范围为_______.
????3??,?? 【答案】?0,????4??4?【解析】如图所示:
设直线l过A点时直线l的斜率为k1,直线l过B点时直线l的斜率为k2,
则,k1?1?0?3?0?1,k2???1, 2?14?1所以要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围为:??1,1?,
所以l倾斜角的取值范围?0,????3??????3???,?0,???,??. .故答案为:????44?????4??4?【题组二 直线方程】
1.过点(1,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线有( ) A.1条 【答案】B
【解析】若直线过原点,则在两坐标轴上的截距都为0,在两坐标轴上的截距相等;
B.2条
C.3条
D.4条
若直线不过原点时,设直线在两坐标轴上的截距为a,由∴满足条件的直线有两条,故选B.
xy??1,代入点(1,2)的坐标可得:a=3,aa2.“直线l:y?kx?2k?1在坐标轴上截距相等”是“k??1”的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】B
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由题知:k?0,由x?0得y?2k?1;由y?0得,x?1?2k. k因为在坐标轴上的截距相等,所以2k?1?11?2k,解得k?或k??1.
2k所以直线l:y?kx?2k?1在坐标轴上截距相等”是“k??1”的必要不充分条件. 故选:B.
【题组三 直线的位置关系】
1.设a∈R,则“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a﹣1)y=a﹣7平行”的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】C
【解析】当a=3时,两直线的方程分别为3x?2y?9?0和3x?2y?4?0,此时两条直线平行成立; 反之,当两直线平行时,有a(a?1)?2?3且a(a?7)??9a,解得a?3或a??2, 而当a??2时,两条直线都为x?y?3?0,重合,舍去,所以a?3,
所以“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a﹣1)y=a﹣7平行”的充要条件,故选:C 2.已知m为实数,直线l1:mx?y?1?0,l2:?3m?2?x?my?2?0,若l1//l2,则实数m的值( )
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A.2 B.1 C.1或2 D.0或
1 3【答案】B
【解析】当m?0时,两直线方程分别为y?1?0和?2x?2?0,不满足条件.
3m?2m?2??, m1?1当m?0时,则l1//l2,?由
3m?2m?得m2?3m?2?0得m?1或m?2, m1
由
m?2?得m?2,则m?1,故选:B 1?13.已知直线p:3x?2y?1?0,直线q:ax?(b?1)y?0,且p∥q,若a,b均为正数,则值是( )
25 323?的最小abA.B.
8 3C.8 D.24
【答案】A
【解析】因为直线p:3x?2y?1?0,直线q:ax?(b?1)y?0,且p∥q, 所以2a?3(1?b),即
2a?b?1, 323?23??2a?42b2a????????b?????3, ab?ab??3b?3a因为a,b均为正数,所以
?13?2b2a?132b2a1325???, ??2?=+4=?3?ab?3ab33当且仅当
2b2a32325?,即a?b?时取等号,所以?的最小值为,故选:A
3abab54.a?1是“直线(a?1)x?3ay?1?0与直线(a?1)x?(a?1)y?3?0相互垂直”的( ). 4B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A
【解析】对于:直线(a?1)x?3ay?1?0与直线(a?1)x?(a?1)y?3?0, 当a?0时,分别化为:x?1?0,?x?y?3?0,此时两条直线不垂直,舍去;
当a??1时,分别化为:?3y?1?0,?2x?3?0,此时两条直线相互垂直,因此a??1满足条件; 当a??1,0时,两条直线的斜率分别为:?
a?11?aa?11?a???1,解,,由于两条直线垂直,可得?3aa?13aa?1
得a?1或?1(舍去). 41或?1. 4综上可得:两条直线相互垂直的充要条件为:a??a?1是“直线(a?1)x?3ay?1?0与直线(a?1)x?(a?1)y?3?0相互垂直”的充分而不必要条4件.故选:A. 【题组四 距离问题】
1.直线l1:x?y?1?0与直线l2:x?y?5?0之间的距离是______.
【答案】22 【解析】直线l1:x?y?1?0与直线l2:x?y?5?0之间的距离?|1?5|?22. 2故答案为:22 2.点P是曲线x2?y?2lnx?0上任意一点,则点P到直线4x?4y?1?0的最小距离是( )
A.2(1?ln2) 2B.2(1?ln2) 2C.21(?ln2) 22D.(1?ln2)
12【答案】B
【解析】将直线4x+4y+1=0平移后得直线l:4x+4y+b=0,使直线l与曲线切于点P(x0,y0),
2
由x-y-2lnx=0得y′=2x-
1, x∴直线l的斜率k=2x0-
11=-1?x0=或x0=-1(舍去), x02∴P??11??11?,?ln2?,所求的最短距离即为点P?,?ln2? ?24??24?