2013年江苏高考数学试题和答案含理科附加
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
参考公式：
样本数据x1,x2,1n1n2,xn的方差s??(xi?x)，其中x??xi。
ni?1ni?12棱锥的体积公式：V?1Sh，其中S是锥体的底面积，h为高。 3棱柱的体积公式：V?Sh，其中S是柱体的底面积，h为高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应．．．．．．位置上。 ．．．
1、函数y?3sin(2x??4)的最小正周期为 ▲ 。 2、设z?(2?i) (i为虚数单位)，则复数z的模为 ▲ 。 2x2y2??1的两条渐近线的方程为 ▲ 。 3、双曲线1694、集合{-1，0，1}共有 ▲ 个子集。 5、右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 ▲ 。 6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 乙 87 89 91 90 90 91 89 88 93 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。 7、现有某类病毒记作为XmYn，其中正整数m,n(m?7,n?9)可以任意选取，则m,n都取到奇数的概率为 ▲ 。 8、如图，在三棱柱A1B1C1 -ABC中，D、E、F分别为AB、AC、A A1的中点，
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设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1 -ABC的体积为V2，则V1：V2= ▲ 。 9、抛物线y?x在x?1处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)。若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x?2y的取值范围是 ▲ 。 10、设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且AD?212AB,BE?BC。若23DE??1AB??2AC(?1、?2均为实数)，则?1+?2的值为 ▲ 。 11、已知f(x)是定义在R上的奇函数。当x?0时，f(x)?x?4x，则不等式f(x)?x的解集用区间表示为 ▲ 。 2x2y212、在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，右焦点为F，右准ab线为l，短轴的一个端点为B。设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2。若d2?6d1，则椭圆C的离心率为 ▲ 。 13、在平面直角坐标系xoy中，设定点A(a,a)，P是函数y?1(x?0)图象上的一动点。若x点P、A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为= ▲ 。 14、在正项等比数列?an?中， a5?最大正整数n的值为 ▲ 。 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说．．．．．．．明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分14分）
已知向量a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),0??????。
1,a6?a7?3，则满足a1?a2?2?an?a1a2an的（1）若|a?b|?2，求证：a?b；
（2）设c?(0,1)，若a?b?c，求?,?的值。
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16、（本小题满分14分）
如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB?平面SBC,AB?BC，AS=AB。过A作AF?SB，垂足为F，点E、G分别为线段SA、SC的中点。 求证：（1）平面EFG//平面ABC；
（2）BC?SA。
17、（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(0,3)，直线l:y?2x?4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上。
（1）若圆心C也在直线y?x?1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。
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18、（本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C。
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟。在甲出发2分钟后，乙从A乘坐缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C。假设缆车速度为130米/分钟，山路AC的长为1260米，经测量，
cosA?123,cosC?。 135（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
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19、（本小题满分16分）
设{ an}是首项为a、公差为d的等差数列(d?0)，Sn为其前n项和。记
bn?nSn?，其中c为实数。 ,n?N2n?c2?（1）若c=0，且b1,b2,b4成等比数列，证明：Snk?nSk(n,k?N)
（2）若{ bn}为等差数列，证明：c=0。
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20、（本小题满分16分）
设函数f(x)?lnx?ax,g(x)?e?ax，其中a为实数。
x（1）若f(x)在(1,??)上是单调减函数，且g(x)在(1,??)上有最小值，求a的取值范围；
（2）若g(x)在(?1,??)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论。
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC。 求证：AC=2AD。
B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
??10??12??1,B?已知矩阵A??，求矩阵AB． ????02??06?
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C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为??x?t?1（t为参数），曲线C的参数方程为
y?2t??x?2tan2?（?为参数）。试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。 ??y?2tan?
D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知a≥b＞0，求证：2a?b≥2ab?ab。
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写．．．．．．．．
出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱A1B1C1?ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点。
（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； （2）求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值。
23．（本小题满分10分）
k个3322设数列?an?：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，(?1)即当k?1k,(?1)k?1k，…
。记（k-1）k（k+1）k?n?(k?N?)22时，an?(?1)k?1k
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Sn?a1?a2??an(n?N?)。
??对于l?N，定义集合Pl=﹛n|Sn为an的整数倍，n?N,且1≤n≤l}
(1)求P11中元素个数； (2)求集合P2000中元素个数。
参考答案 1．【答案】π
2π2π
【解析】T＝|ω |＝|2 |＝π． 2．【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝
＝5．
3．【答案】y??3x 4
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x2y29x23??0，得y??【解析】令：??x． 1691644．【答案】8 【解析】23＝8．
5．【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．
6．【答案】2
【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：x?89?90?91?88?92?90．
5(89?90)2?(90?90)2?(91?90)2?(88?90)2?(92?90)2?2． 方差为：S?527． 【答案】
20 634?520． ?7?963【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的概率为8．
【答案】1：24
【解析】三棱锥F?ADE与三棱锥A1?ABC的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥A1?ABC与三棱柱A1B1C1?ABC的体积之比为1：3．所以，三棱锥F?ADE与三棱柱A1B1C1?ABC的体积之比为1：24． 9．
1
【答案】[—2，2 ]
C1
B1
A1 F C
E B
D
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1z2【解析】抛物线y?x在x?1处的切线易得为y＝2x—1，令z＝x?2y，y＝—2 x＋2 ． 11
画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(2 ，0)时，zmax＝2 ．
y y＝2x—1 O x 1y＝—2 x
10． 1
【答案】2
【解析】DE?DB?BE?
1212AB?BC?AB?(BA?AC) 232312??AB?AC??1AB??2AC
63所以，?1??11．
【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)
【解析】做出f(x)?x?4x (x?0)的图像，如下图所示。由于f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式f(x)?x，表示函数y＝f(x)的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。
2112，?2?，?1??2?2 ． 63
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y P(5,5) y＝x2—4 x x Q(﹣5, ﹣5)
y＝x 12． 【答案】
3 3B y b O a c F l a2a2b2【解析】如图，l：x＝，d2＝－c＝，由
cccb2bcbcd1＝。等面积得：若d2?6d1，则＝6，
caa x ?b??b?22整理得：6a?ab?6b?0，两边同除以：a2，得：6??????6?0，解
?a??a?63b?b?之得：＝，所以，离心率为：e?1????．
33a?a?
13．
【答案】1或10 【解析】 14． 【答案】12
221??a1q4?【解析】设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，则：?2??a1q5(1?q)?31
，得：a1＝32 ，
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(n?1)n2n?1．记Tn?a1?a2???an?，?n?a1a2?an?22．Tn??n，521211n?n?522q＝2，an＝2
6－n
2n?1?2则
25n?(n?1)n2，化简得：2?1?2n，当n?1211n?n?5时，2213?121?12．当n＝12时，T12??12，当n＝13时，T13??13，故nmax＝12． 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤． 15．
解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2， 所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0， 所以，a?b．
?cos??cos??0（2）??sin??sin??1所以，α－β＝
①1，①2＋②2得：cos(α－β)＝－2 ． ②22?，α＝?＋β， 33132?cosβ＋2 sinβ＝sin(＋β)＝1， ?＋β)＋sinβ＝233带入②得：sin(
所以，
??＋β＝． 325??，β＝． 66所以，α＝16．
证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB，
所以F为SB的中点．
又E，G分别为SA，SC的中点，
S E F A
B
G
C
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所以，EF∥AB，EG∥AC．
又AB∩AC＝A，AB?面SBC，AC?面ABC， 所以，平面EFG//平面ABC．
（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
AF?平面ASB，AF⊥SB． 所以，AF⊥平面SBC． 又BC?平面SBC， 所以，AF⊥BC．
又AB⊥BC，AF∩AB＝A， 所以，BC⊥平面SAB． 又SA?平面SAB， 所以，BC?SA．
17． 解：（1）联立：??y?x?1，得圆心为：C(3，2)．
?y?2x?4y A O l 设切线为：y?kx?3，
d＝
|3k?3?2|1?k23?r?1，得：k?0ork??．
4x 故所求切线为：y?0or3y??x?3．
4（2）设点M(x，y)，由MA?2MO，知：x2?(y?3)2?2x2?y2，
22化简得：x?(y?1)?4，
即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D． 又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切． 故：1≤|CD|≤3，其中CD?
a2?(2a?3)2．
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12
解之得：0≤a≤5 ．
18．
解：（1）如图作BD⊥CA于点D，
设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k， AB＝52k，由AC＝63k＝1260m， 知：AB＝52k＝1040m． （2）设乙出发x分钟后到达点M，
此时甲到达N点，如图所示． 则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000， 35
其中0≤x≤8，当x＝37 (min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短． 1260126
（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：50 ＝5 (min)．
12614186
若甲等乙3分钟，则乙到C用时：5 ＋3＝5 (min)，在BC上用时：5 (min) ． 861250
此时乙的速度最小，且为：500÷5 ＝43 m/min．
12611156
若乙等甲3分钟，则乙到C用时：5 －3＝5 (min)，在BC上用时：5 (min) ． 56625
此时乙的速度最大，且为：500÷5 ＝14 m/min． 1250625
故乙步行的速度应控制在[43 ，14 ]范围内． 19．
证：（1）若c?0，则an?a?(n?1)d，Sn?2M B D C
N
A
n[(n?1)d?2a](n?1)d?2a，bn?．
22当b1，b2，b4成等比数列，b2?b1b4，
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d?3d???2即：?a???a?a??，得：d?2ad，又d?0，故d?2a．
2?2???2222222由此：Sn?na，Snk?(nk)a?nka，nSk?nka．
22故：Snk?nSk（k,n?N）．
*（2）bn?nSn?2n?cn2(n?1)d?2a2， 2n?c(n?1)d?2a(n?1)d?2a(n?1)d?2a?c?c222 2n?ccn2?(n?1)d?2a(n?1)d?2a2． (※) ??22n?c若{bn}是等差数列，则bn?An?Bn型． 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
(n?1)d?2a(n?1)d?2a(n?1)d?2a2故有：，即，而≠0， c?0?0222n?cc故c?0．
经检验，当c?0时{bn}是等差数列． 20．
解：（1）f?(x)?11?a≤0在(1,??)上恒成立，则a≥，x?(1，??)． xx
故：a≥1．
g?(x)?ex?a，
若1≤a≤e，则g?(x)?e?a≥0在(1,??)上恒成立，
x
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此时，g(x)?e?ax在(1,??)上是单调增函数，无最小值，不合；
x若a＞e，则g(x)?e?ax在(1，lna)上是单调减函数，在(lna，??)上是单调增函数，gmin(x)?g(lna)，满足． 故a的取值范围为：a＞e．
（2）g?(x)?e?a≥0在(?1,??)上恒成立，则a≤ex，
1故：a≤e ．
xxf?(x)?11?ax?a?(x?0)． xx11
(ⅰ)若0＜a≤e ，令f?(x)＞0得增区间为(0，a )； 1
令f?(x)＜0得减区间为(a ，﹢∞)．
当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；
111
当x＝a 时，f(a )＝﹣lna－1≥0，当且仅当a＝e 时取等号． 11
故：当a＝e 时，f(x)有1个零点；当0＜a＜e 时，f(x)有2个零点． (ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点． (ⅲ)若a＜0，则f?(x)?1?a?0在(0，??)上恒成立， x即：f(x)?lnx?ax在(0，??)上是单调增函数， 当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞． 此时，f(x)有1个零点．
11
综上所述：当a＝e 或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜a＜e 时，f(x)有2个零点．
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