抛物线
一、选择题
2
1.抛物线y＝8x的准线方程是( )
A.x＝-2 B.x＝-4 C.y＝-2 D.y＝-4 解析:2p＝8,p＝4,故准线方程为x＝-2,故选A. 答案:A
x2y2??1的右焦点重合,则p的值为( ) 2.若抛物线y＝2px的焦点与椭圆622
A.-2 B.2 C.-4 D.4
x2y2??1的右焦点为(2,0), 解析:椭圆62所以抛物线y＝2px的焦点为(2,0),
则p＝4,故选D. 答案:D
22
3.已知点A(-2,1),y＝-4x的焦点是F,P是y＝-4x上的点,为使|PA|+|PF|取得最小值,则P点的坐标是( ) A.(?2
11,1) B.(-2,22) C.(?,-1) D.(-2,?22) 44解析:过P作PK⊥l(l为抛物线的准线)于K,则|PF|＝|PK|, ∴|PA|+|PF|＝|PA|+|PK|.
∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时,|PA|+|PK|最小,此时P点的纵坐标为1,把y＝1代入y＝-4x,得x??2
11,即当P点的坐标为(?,1)时,|PA|+|PF|最小. 442
答案:A
4.设O为坐标原点,F为抛物线y＝4x的焦点,A为抛物线上一点,若OA?AF??4,则点A的坐标为( ) A.(2,?2) B.(1,±2) C.(1,2) D.(2,2)
2
解析:抛物线y＝4x的焦点为F(1,0),设A点坐标为(x0,y0),
则(x0,y0)·(1-x0,y0)＝-4,
22
即x0(1-x0)-y0＝-4.又y0＝4x0,
2
得x0+3x0-4＝0,解得x0＝1或x0＝-4(舍去), ∴A(1,±2). 答案:B
2
5.(2024四川高考,理12)已知抛物线C:y＝8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|＝2|AF|,则△AFK的面积为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
2
解析:∵抛物线C:y＝8x的焦点为F(2,0),准线为x＝-2,∴K(-2,0).
设A(x0,y0),过A点向准线作垂线AB,则B(-2,y0), ∵|AK|＝2|AF|,
又|AF|＝|AB|＝x0-(-2)＝x0+2,
222
∴由|BK|＝|AK|-|AB|,
22
得y0＝(x0+2),
2
即8x0＝(x0+2), 解得A(2,±4). ∴△AFK的面积为答案:B
6.设O是坐标原点,F是抛物线y＝2px(p＞0)的焦点,A是抛物线上的一点,的夹角为60°,则|OA|为( )
2
11|KF|·|y0|＝×4×4＝8.故选B. 22FA与x轴正向
A.
21p131321pp D. B. C.p
26364解析:过A作AD⊥x轴于点D,令FD＝m,
则FA＝2m,p+m＝2m,m＝p. ∴OA?(p21?p)2?(3p)2?p. 22答案:B
二、填空题
2
7.抛物线y＝2px(p＞0)的动弦AB长为a(a＞2p),则动弦AB的中点M到y轴的最短距离是___________. 答案:
ap? 222
8.(2024全国高考卷Ⅰ)已知抛物线y＝ax-1的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为_____________.
111?1)为坐标原点,得a?,则y?x2?1与坐4a441标轴的交点为(0,-1),(-2,0),(2,0),则以这三点围成的三角形的面积为×4×1＝2.
2解析:由抛物线y＝ax-1的焦点坐标为(0,
2
答案:2
222
9.已知抛物线y＝4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y1+y2的最小值是__________. 答案:32
10.点P到A(1,0)和直线x＝-1的距离相等,且点P到直线l:y＝x的距离等于点P的个数为_______________.
2,则这样的2y2
解析:由抛物线定义,知点P的轨迹为抛物线,其方程为y＝4x,设点P的坐标为(0,y0),由点
42y|0?y0|22
?到直线的距离公式,知4,即y0-4y0±4＝0,易知y0有三个解,故点P个数有三22个.
答案:3 三、解答题
2
11.如图,曲线G的方程为y＝2x(y≥0).以原点为圆心,以t(t＞0)为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.
2
(1)求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式;
(2)设曲线G上点D的横坐标为a＋2,求证:直线CD的斜率为定值. 解:(1)由题意,知A(a,2a). 因为|OA|＝t,所以a+2a＝t. 由于t＞0,故有t?a2?2a.①
由点B(0,t),C(c,0)的坐标,知直线BC的方程为
2
2
xy??1. ct又因点A在直线BC上,故有
a2a??1, ct将①代入上式,得
a2a??1, ca(a?2)解得c?a?2?2(a?2). (2)因为D(a+2,2(a?2)), 所以直线CD的斜率为
kCD?2(a?2)2(a?2)?
a?2?ca?2?[a?2?2(a?2)]＝
2(a?2)?2(a?2)??1.
所以直线CD的斜率为定值.
12.设动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2,∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜
2
1),使得d1d2sinθ＝λ.
(1)证明动点P的轨迹C为双曲线,并求出C的方程;
(2)过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点,试确定λ的范围,使OM点O为坐标原点.
解:(1)在△PAB中,|AB|＝2,
222
则2＝d1+d2-2d1d2cos2θ,
4＝(d1-d2)+4d1d2sinθ,即|d1?d2|?4?4d1d2sin2??21???2(常数),
2
2
?ON?0其中
点P的轨迹C是以A、B为焦点,实轴长2a?21??的双曲线,
x2y2??1. 方程为
1???(2)方法一:设M(x1,y1),N(x2,y2),
①当MN垂直于x轴时,MN的方程为x＝1,M(1,1),N(1,-1)在双曲线上, 即
?1?511. ??1?λ2+λ-1＝0???21???5?1. 2因为0＜λ＜1,所以??②当MN不垂直于x轴时,设MN的方程为y＝k(x-1).
?x2y2??1,?由?1??? ?y?k(x?1),?得［λ-(1-λ)k］x+2(1-λ)kx-(1-λ)(k+λ)＝0,
2
由题意知［λ-(1-λ)k］≠0,
2
2
2
2
?2k2(1??)所以x1?x2?,
??(1??)k2?(1??)(k2??)x1x2?, 2??(1??)kk2?2于是y1y2＝k(x1-1)(x2-1)＝.
??(1??)k22
因为OM?ON?0,且M、N在双曲线右支上,
?x1x2?y1y2?0?k2??(1??)??(1??)?5?122??????.??????1?2????????11??所以?x1?x2?023
??xx?0?k2???2???1?01???1???由①②,知
5?12???. 23方法二:设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为E(x0,y0). ①当x1＝x2＝1时,|MB|?2?1?????1?λ2+λ-1＝0,
因为0＜λ＜1,所以??5?1; 22?x12y1??1??1???②当x1≠x2时,?
22?x2?y2?1??1????kMN??1???x0. y0又kMN＝kBE＝
y0, x0?12
2
所以(1-λ)y0＝λx0-λx0.
|MN|2?22
,得x0+y0＝(), 22|MN|2e(x1?x2)?2a2由第二定义得()?[]
22由∠MON＝＝(1x0?1??)2 1??＝
12x0?(1??)?2x0, 1??2
2
2
所以(1-λ)y0＝λx0-2(1-λ)x0+(1-λ).
22?(1??)y??x?00??x0,于是由? 222??(1??)y0??x0?2(1??)x0?(1??),
高中数学《抛物线》同步练习8 新人教A版选修1-1
