专题复习之四 电磁感应中的力学问题与能量转化问题
在物理学研究的问题中,能量是一个非常重要的课题,能量守恒是自然界的一个普遍的、重要的规律。在电磁感应现象中，由磁生电并不是创造了电能，而只是机械能转化为电能而已。在力学中就已经知道：功是能量转化的量度。那么在机械能转化为电能的电磁感应现象中，是什么力在做功呢？是安培力在做功，在电学中，安培力做正功，是将电能转化为机械能（电动机），安培力做负功，是将机械能转化为电能（发电机），必须明确发生电磁感应现象中，是安培力做功导致能量的转化。 （1）由??N???t决定的电磁感应现象中，无论磁场发生的增强变化还是减弱变化，磁场都
通过感应导体对外输出能量（指电路闭合的情况下，下同）。磁场增强时，是其它形式的能量转化为磁场能中的一部分对外输出；磁场子削弱时，是消耗磁场自身储存的能量对外输出。 （2）由??Blvsin?决定的电磁感应现象中，由于磁场本身不发生变化，一般认为磁场并不输出能量，而是其它形式的能量，借助安培的功（做正功、负功）来实现能量的转化。 （3）解决这类问题的基本方法：用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动的大小和方向；画出等效电路，求出回路中电阻消耗电功率表达式；分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械功率的改变与回路中电功率的变化所满足的方程。
例1. 如图所示，竖直放置的U形导轨宽为L，上端串有电阻R（其余导体部分的电阻都忽略不计）。磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向外。金属棒ab的质量为m，与导轨接触良好，不计摩擦。从静止释放后ab保持水平而下滑。试求ab下滑的最
R 大速度vm
解：释放瞬间ab只受重力，开始向下加速运动。随着速度的增大，感应电动势E、感应电流I、安培力F都随之增大，加速度随之减小。当F增大到F=mg时，加速度变为零，这时ab达到最大速度。 a
m L b mgRB2L2vm 由F??mg，可得vm?22
RBL 这道题也是一个典型的习题。要注意该过程中的功能关系：重力做功的过程是重力势能向动能和电能转化的过程；安培力做功的过程是机械能向电能转化的过程；合外力（重力和安培力）做功的过程是动能增加的过程；电流做功的过程是电能向内能转化的过程。达到稳定速度后，重力势能的减小全部转化为电能，电流做功又使电能全部转化为内能。这时重力的功率等于电功率也等于热功率。 进一步讨论：如果在该图上端电阻右边安一只电键，让ab下落一段距离后再闭合电键，那么闭合电键后ab的运动情况又将如何？（无论何时闭合电键，ab可能先加速后匀速，也可能先减速后匀速，但最终稳定后的速度总是一样的）。
例2. 如图所示，U形导线框固定在水平面上，右端放有质量为m的金属B a 棒ab，ab与导轨间的动摩擦因数为μ，它们围成的矩形边长分别为L1、
L1 L2，回路的总电阻为R。从t=0时刻起，在竖直向上方向加一个随时间均
L2 匀变化的匀强磁场B=kt，（k>0）那么在t为多大时，金属棒开始移动？
b ??解：由E?= kL1L2可知，回路中感应电动势是恒定的，电流大小也是
?t恒定的，但由于安培力F=BIL∝B=kt∝t，随时间的增大，安培力将随之增大。当安培力增
kLLmgR 大到等于最大静摩擦力时，ab将开始向左移动。这时有：kt?L1?12??mg,t??2Rk2L1L2
例3. 如图所示，用丝线悬挂闭合金属环，悬于O点，虚线左边有匀强磁场，
O 右边没有磁场。金属环的摆动会很快停下来。试解释这一现象。若整个空间
都有向外的匀强磁场，会有这种现象吗？ 解：只有左边有匀强磁场，金属环在穿越磁场边界时，由于磁通量发生变化，B 环内一定会有感应电流产生，根据楞次定律将会阻碍相对运动，所以摆动会
很快停下来，这就是电磁阻尼现象。当然也可以用能量守恒来解释：既然有电流产生，就一定有一部分机械能向电能转化，最后电流通过导体转化为内能。若空间都有匀强磁场，穿过金属环的磁通量反而不变化了，因此不产生感应电流，因此也就不会阻碍相对运动，摆动就
0
不会很快停下来。[拓展：（1）此时摆角不大于5时，它的振
c d 动周期相对没有磁场时有什么变化？（2）如果线框换成一个
带电小球，它的振动周期相对没有磁场时有什么不同。（3）如
a b 果线框换成带电小球，匀强磁场换成竖直方向的匀强电场，相
对没有电场，它的振动周期有什么不同？]
B H
例4如图所示，质量为m、边长为l的正方形线框，从有界的
匀强磁场上方由静止自由下落，线框电阻为R。匀强磁场的宽度为H。（l＜H ，磁感强度为B，线框下落过程中ab边与磁场边界平行且沿水平方向。已知ab边刚进入磁场和刚穿出磁场时线框都作减速运动，加速度大小都是
1g。求 3（1）ab边刚进入磁场时与ab边刚出磁场时的速度大小； （2）cd边刚进入磁场时，线框的速度大小； （3）线框进入磁场的过程中，产生的热量。
[解（1）由题意可知ab边刚进入磁场与刚出磁场时的速度相等，设为v1，则结线框有： ε＝Blv1 I＝ε/R F＝BIl 且F－mg＝mg/3
22
解得速度v1为：v1＝4mgR/3Bl （2）设cd边刚进入磁场时速度为v2，则cd边进入磁场到ab边刚出磁场应用动能定理得：
1212mv1?mv2?mg(H?l) 22(4mgR2)?2g(H?l) 223Bl解得： v2?（3）由能和转化和守恒定律，可知在线框进入磁场的过程中有
1212mv1?mgl?mv2?Q 22解得产生的热量Q为：Q＝mgH]
例5如图所示,在倾角为θ的光滑斜面上存在着两个磁感强度相等的匀强磁场,方向一个垂直斜面向上,另一个垂直斜面向下,宽度均为L.一个质量为m、边长也为L的正方形线框（设电阻为R）以速度v进入磁场时，恰好作匀速直线运动。若当ab边到达gg1与ff1中间位置时，线框又恰好作匀速直线运动，则：（1）当ab边刚越过ff1时，线框加速度的值为多少？（2）求线框从开始进入磁场到ab边到达gg1和ff1中点的过程中产生的热量是多少？
[解析：（1）ab边刚越过ee1即作匀速直线运动，表明线框此时受到的合外力为零，即：
mgsin??B?BLv?L 在ab边刚越过ff1时，ab、cd边都切割磁感线产生电势，但线框R的运动速度不能突变，则此时回路中的总感应电动势为?1?2BLv.故此时线框加速度为：
a?2B?1L/mR?gsin??3gsin?方向沿斜面向上.（2）设线框再作匀速直线运动的速
度为V1，则：mgsin??B?2BLv1?L/R?2即v1?v/4 从线框越过ee1到线框再作匀速直线运动过程中，设产生的热量为Q，则由能量守恒定律得：
311315Q?mg?Lsin??mv2?mv12?mgLsin??mv2]
222232
例6如图所示，两根平行光滑导轨PQ和MN相距d＝0.5m，它们与水平方向的倾角为α（sinα＝0.6），导轨的上方跟电阻为R＝4Ω相连，导轨上放一个金属棒，金属棒的质量为m＝0.2kg，电阻r＝2Ω。整个装置放在方向竖直向上的匀强磁场中，磁感强度B＝1.2T。金属棒在沿斜面方向向上的恒力作用下收静止开始沿斜面向上运动，电阻R消耗的最大电功率P＝1W。（g＝10m/s2）求：（1）恒力的大小；（2）恒力作用功的最大功率。
Q α
例7、如图所示，AB．CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两轨间距离为L，导轨平面与水平面的夹角为?，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，电阻为R，与导轨的动摩擦因数为? ，从静止开始沿导轨下滑，求： （1）ab棒的最大速度
C （2）ab释放的最大功率
R b （3）若ab棒下降高度h时达到最大速度，在这个过程中，ab棒
A 产生的焦耳热为多大？
a θ D P
B M R N
B
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