圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第二部分模拟试题及详解全国硕士研究生招生考试考研数学二模拟试题及详解(一)一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。)1.设函数f(x)有二阶连续导数,且f?x??2lim?0x?01?cosxlimx?0ln?1?xf???x?2??1则()。A.(0,f(0))为曲线y=f(x)的拐点B.x=0不是极值点,(0,f(0))并不是拐点C.x=0为f(x)的极大值点D.x=0为f(x)的极小值点【答案】D【考点】极值及拐点的判定与应用【解析】由f?x??2
lim?0x?01?cosx结合洛必达法则可知f(0)=2,f′(0)=0。又由1/82圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台lim
x?0
知在x=0的某邻域内ln?1?x
f???x?2
f???x?2
??1
ln?1?x??0
于是f″(x)>0,可知在点x=0处f(x)取极小值。2.设f(x),g(x)在点x=x0处可导且f(x0)=g(x0)=0,f′(x0)g′(x0)<0,则()。A.x0是f(x)g(x)的驻点,且是f(x)g(x)的极小值点B.x0是f(x)g(x)的驻点,且是f(x)g(x)的极大值点C.x0不是f(x)g(x)的驻点D.x0是f(x)g(x)的驻点,但不是f(x)g(x)的极值点【答案】B【考点】驻点的定义及极限的性质【解析】令y=f(x)g(x),则y′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),y′(x0)=f′(x0)g(x0)+f(x0)g′(x0)=0,因此x=x0是y=f(x)g(x)的驻点。y″=f″(x)g(x)+2f′(x)g′(x)+f(x)g″(x),y″(x0)=f″(x0)g(x0)+2f′(x0)g′(x0)+f(x0)g″(x0)=2f′(x0)g′(x0)<0,所以x=x0是y=f(x)g(x)的极大值点。3.设2/82圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台?x3,0?x?1f(x)??2?x?1,1?x?2F(x)??f(t)dt
0x
则F(x)在[0,2]上(A.可导B.有界,不可积C.可积,有间断点D.连续,有不可导点【答案】D)。【考点】变限积分的定义及计算、函数在某点可导性的判定方法【解析】当0≤x≤1时,分段函数f(x)的变限积分为F(x)??
当1≤x≤2时,有x014f(t)dt??tdt?x
04x3x13xF(x)??f(t)dt??f(t)dt??tdt??(t2+1)dt
01011?
于是113113
?(t?t)?x3?x?433121x14?
x,0?x?1??4F(x)??
?1x3?x?13,1?x?2?12?3由于F(1)=1/4,3/82圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台141limF(x)?limx???x?1x?14413131
limF(x)?lim(x?x?)???x?1x?13124于是有F(1)?limF(x)?limF(x)??
x?1
x?1
可推出F(x)在[0,2]上连续(关键是考察F(1)当x≠1时,显然F(x)可导,且?limF(x)?limF(x))。??
x?1x?114F??(1)?(x)??x34x?1x?1?11313
F??(1)?(x?x?)??(x2?1)?2
x?1312x?1F-′(1)≠F+′(1)可推出F(x)在点x=1处不可导。4.下列反常积分①??
??1??arctanx
dx2x(xe
?x2
②0?sinx)dx
③?
1
dx(1?x2)1?x2?11?lnx④?0xdx
1
4/82圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台中收敛的是(A.②④B.③④C.①②D.①③【答案】D)。【考点】反常积分收敛性的判定【解析】①由??
????arctanx111
dx???arctanxd()??arctanx??dx2211xxxx(1?x)1
??
?
1
π1??11π11π1???d(2)=?ln(1?2)??ln2
11x4242x1421?2x??
可推出①收敛;②由?
??
??
0
xe
?x21???x2dx???ed(?x2)
20
1?x2??1?1??e?e(收敛)
122??
?x2
而?
0
sinxdx发散,可推出?0(xe?sinx)dx发散,则②发散。③由5/82