课时跟踪检测（十六） 空间向量与平行、垂直关系
一、题组对点训练 对点练一 平面的法向量
1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是( ) A．(1,1，－1) C．(－1,1,1)
B．(1，－1,1) D．(－1，－1，－1)
―→―→
解析：选D AB＝(－1,1,0)，AC＝(－1,0,1)．
??－x＋y＝0，
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有?
?－x＋z＝0，?
取x＝－1，则y＝－1，z＝－1. 故一个法向量是(－1，－1，－1)．
7
0，2，?，B(1，－1,0)，C(－2,1,0)是平面α内的三点，设平面α的法向量n2．若A?4??＝(x，y，z)(x，y，z≠0)，则x∶y∶z＝________.
7―7―→→
1，－3，－?，AC＝?－2，－1，－?. 解析：AB＝?4?4???
?AB―→＝0，?n·
?由得?n·AC―→＝0，?
?
?7－2x－y－z＝0，?4
7
x－3y－z＝0，
4
?x＝3y，解得?4
z＝－?3y，
2
42
－y?＝2∶3∶(－4)． 则x∶y∶z＝y∶y∶??3?3答案：2∶3∶(－4)
对点练二 利用空间向量证明平行问题
3．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( ) A．α∥β
C．α，β相交但不垂直
解析：选A ∵v＝－3u，∴α∥β.
1
1，，2?，且l∥α，则m＝4．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为??2?________.
B．α⊥β D．以上均不正确
?1，1，2?＝2＋1m＋2解析：∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)·?2?2
＝0.解得m＝－8.
答案：－8
―→―→―→
5．若AB＝λCD＋μCE (λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________． ―→―→―→
解析：∵AB＝λCD＋μCE (λ，μ∈R)， ―→―→―→
∴AB与CD，CE共面．
∴AB∥平面CDE或AB?平面CDE. 答案：AB∥平面CDE或AB?平面CDE
6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，π
∠ABC＝，PA⊥底面ABCD，PA＝2，点M为PA的中点，点N为
4BC的中点，AF⊥CD于F，如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD.
证明：由题设知，在Rt△AFD中，AF＝FD＝D－22??，A(0,0,0)，B(1,0,0)，F0，，0，
22??
?
?2222???，，0，P(0,0,2)，M(0,0,1)，N1－，，0. 2244???
―→?→?222?―?MN＝1－，，－1，PF＝0，，－2，
442????―→?22?PD＝－，，－2. ?22?
设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， ―→??2y－2z＝0，?n·PF＝0，则???―→22?PD＝0?n·－x＋?22y－2z＝0，
2
令z＝2，得n＝(0,4，2)．
―→22??(0,4，2)＝0， 因为MN·n＝1－，，－1·
44??又MN?平面PCD， 所以MN∥平面PCD.
对点练三 利用空间向量证明垂直问题
7．已知直线l1与l2不重合，直线l1的一个方向向量为a＝(－2，5，2)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，0,1)，则直线l1与l2的位置关系是________．
解析：∵a·b＝－2＋0＋2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. 答案：l1⊥l2
―→―→―→―→―→―→8．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP―→
⊥平面ABC，则BP＝________.
―→―→―→―→
解析：∵AB⊥BC，∴AB·BC＝0，∴3＋5－2z＝0， ―→―→
∴z＝4.∵BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC， ―→―→???BP·AB＝0，?x－1＋5y＋6＝0，∴?即?
―→―→?3x－3＋y－12＝0，??BC＝0，? BP·
?解得?15
y＝－，?7
40x＝，
7
15―→33
，－，－3?. 故BP＝?7?7?
3315
，－，－3? 答案：?7?7?
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：DB1⊥平面A1BC1. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，
―→―→―→
故A1B＝(0,1，－1)， A1C1＝(－1,1,0)，DB1＝(1,1,1)． 设平面A1BC1的法向量n＝(x，y，z)， ―→―→
则A1B⊥n，A1C1⊥n. ―→―→故A1B·n＝0，A1C1·n＝0. 即y－z＝0，－x＋y＝0. ―→可设n＝(1,1,1)，故有n∥DB1. 所以DB1⊥平面A1BC1.
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
人教A版高中数学选修2-1新课改地区版课时跟踪检测(十六) 空间向量与平行、垂直关系
