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第2讲 不等式的证明
1．基本不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a、b为正数，则
a＋b2
≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
3
≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理3：如果a、b、c为正数，则
a＋b＋c3
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则
a1＋a2＋…＋ann≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
n2．不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 3．数学归纳法证明不等式的关键
使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n＝k时不等式成立推证n＝k＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．
对于任意的x、y∈R，求证|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3. 证明：根据绝对值的几何意义，可知|x－1|＋|x|≥1， |y－1|＋|y＋1|≥2，
所以|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3. 11
若a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，求证：2＋2≥8.
ab证明：因为a＋b＝1， 所以a2＋2ab＋b2＝1. 因为a>0，b>0， 所以2＋2＝
1
1
（a＋b）2
aba2
＋
（a＋b）2
b2
22
b22aa2?2b2a??ba?
＝1＋＋2＋1＋＋2＝2＋?＋?＋?2＋2?≥2＋
aabb?ab??ab?
2b精品
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2b2a·＋2
1b2a2??
当a＝b＝时取等号·＝8??.
2a2b2??
2
ab 若x，y，z∈R＋，且x＋y>z，求证：＋>. 1＋x1＋y1＋z证明：因为x＋y>z， 所以x＋y－z>0.
xyzzz＋（x＋y－z）x＋y由分数性质得<＝.
1＋z1＋z＋（x＋y－z）1＋x＋y因为x>0，y>0，
x＋yxyxy所以＝＋<＋.
1＋x＋y1＋x＋y1＋x＋y1＋x1＋y所以＋>.
1＋x1＋y1＋z11
若a>b>1，证明：a＋>b＋.
xyzab1?1?b－a（a－b）（ab－1）
证明：a＋－?b＋?＝a－b＋＝.
a?b?
abab由a>b>1得ab>1，a－b>0， （a－b）（ab－1）所以>0.
ab1?1?11即a＋－?b＋?>0，所以a＋>b＋.
a?b?
ab
比较法证明不等式
[典例引领]
?1??1?
(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝?x－?＋?x＋?，M为不等式f(x)＜2的解集．
?2??2?
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.
精品
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【解】
?
?11
(1)f(x)＝?1，－＜x＜，
22
?2x，x≥1.?2
1
－2x，x≤－，
2
1
当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；
211
当－＜x＜时，f(x)＜2；
22
1
当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.
2所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－
a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.
因此|a＋b|＜|1＋ab|.
比较法证明不等式的方法与步骤
(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论． (2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论．
[提醒] (1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法． (2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．
[通关练习]
1．若a，b∈R＋，证明：(a＋b)(a5＋b5)≤2(a6＋b6)．
证明：因为(a＋b)(a5＋b5)－2(a6＋b6)＝a6＋a5b＋ab5＋b6－2a6－2b6＝a5b＋ab5－a6－b6＝a5(b－a)＋b5(a－b)＝(a－b)(b5－a5)．
当a>b>0时，a－b>0，b5－a5<0，有(a－b)(b5－a5)<0. 当b>a>0时，a－b<0，b5－a5>0，有(a－b)(b5－a5)<0. 当a＝b>0时，a－b＝0，有(a－b)(b5－a5)＝0. 综上可知(a＋b)(a5＋b5)≤2(a6＋b6)．
a＋b2．已知a，b∈(0，＋∞)，求证：abba≤(ab)2.
精品
(通用版)201X版高考数学一轮复习 不等式选讲 2 第2讲 不等式的证明教案 理
