2019～2020学年第二学期高一期末调研考试
数学试题
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． cos224?8?sin224?8?
222 2A. B. ? C. D. ?2．不等式x2?8的解集是
A. (?22,22) B. (??,?22)?(22,??) C. (?42,42) D. (??,?42)?(42,??)
3．若从甲，乙，丙， 丁4位同学中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是
A. 14 B. 12 C. 333D. 44．某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35，40)， [40，45)， [45，50)，[50，55）， [5，60]， 由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的人数有
A． 45 B． 46 C． 48 D． 50
5．过圆x2?y2?5上一点M（－1．2）作圆的切线l，则l的方程是
A. x?2y?3?0 B. x?2y?5?0 C. 2x?y?5?0 D. 2x?y?5=0
6．两条平行直线6x?4y?5?0与y?13131326513133x的距离是 2A. B. c. D. 513 267．如图，在三校锥S－ABC中， SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4， SA＝23，则异面直线SB与AC所成角的余弦值是
A.18 B. ?18 C. 14 D. ?1 4
8．圆x2?y2?2x?2y?2?0的圆心为C，直线l过点(0，3)且与圆C交于A，B两点，若△ABC的面积为3，则满足条件的直线l的条数为
A． 1 В． 2 C． 3 D．4
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是
1
A．两件都是一等品的概率是
31
B．两件中有1件是次品的概率是
21
C．两件都是正品的概率是
3
5
D．两件中至少有1件是一等品的概率是
610．关于异面直线a， b，下列四个命题正确的有 A．过直线a有且仅有一个平面β，使b⊥β B．过直线a有且仅有一个平面β，使b//β C．在空间存在平面β，使a//β， b//β D．在空间不存在平面β，使a⊥β， b⊥β
11．正方体的外接球与内切球上各有一个动点M， N，若线段MN的最小值为3?1，则
A．正方体的外接球的表面积为12π C．正方体的棱长为1
π
B．正方体的内切球的体积为 3
D．线段MN的最大值为3?1
12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线” ．在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M： (x?3)2?y2?r2相切，则下列结论正确的是
A．圆M上点到直线x?y?3?0的最小距离为22 B．圆M上点到直线x?y?3?0的最大距离为32
C．若点（x，y ）在圆M上，则x?3y的最小值是3?22
D．圆(x?a?1)2?(y?a)2?8与圆M有公共点，则a的取值范围是
[1?22,1?22]
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知两点A（3，2）， B（8，12），则直线AB的一般式方程为________
14．用半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥筒的高为3，则半圆形纸片的半径为________
15．设cosx?t，用t的代数式表示cos2x＝________，用t的代数式表示cos3x＝________
16．在△ABC中，角A， B， C的对边分别为a， b， c，面积为S，且满足a2?(b?c)2?S，b＋c＝2，则S的最大值是________
四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17． （本小题满分10分）
在△ABC中，角A， B， C对边分别为a，b， c，若
A?60?,b?1,SABC?3
(1)求c的值； (2)求sinC的值．
18． （本小题满分12分）
1已知tan(???)?,tan???2．
3(1)求tanβ： (2)求sin2α．
19． （本小题满分12分）
已知函数f(x)?ax2?(a?3)x?2 （其中a∈R）． （1）当a＝－1时，解关于x的不等式f（x）＜0； （2）若f（x）≥－1的解集为R，求实数a的取值范围． 20． （本小题满分12分）
如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中， E为棱DD1的中点，求证：
(1) BD1∥平面EAC； (2)平面EAC⊥平面AB1C．
21． (本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2?y2?4x?2ay?a2?0 （1）若圆C与x轴相切，求实数a的值；
（2）若M， N为圆C上不同的两点，过点M， N分别作圆C的切线
l1,l2，若l1与l2相交于点P，圆C上异于M， N另有一点Q，满足
MON?60?，若直线：l1：x?y?6?0上存在唯一的一个点T，使得TP?2OC，求实数a的值．
22． （本小题满分12分）
已知梯形ABCD中， AB?1,?A?60?,?ABC?90?,?CBD?45?，如图（1）所示．现将△ABC沿边BC翻折至△A'BC ，记二面角A'—BC—D的大小为θ．
(1)当θ＝90°时，如图(2)所示，过点B作平面与A‘D垂直，分别交A?C,A?D于点E，F，求点E到平面A?BF的距离；
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