2??y???3x?6x??3x?x?2? 1．?
??y????6x?6??6?x?1?【求解示例】
1．∵函数f?x?在其定义域??1,3?上连续，且可导
∴f??x???3x?3
2??x1?0,x2?2?y???3x?x?2??0 2．令?解得：?
??x?1?y????6?x?1??02．令f??x???3?x?1??x?1??0，
解得：x1??1,x2?1 3．（三行表） x f??x? ?1 3．（四行表） x (??,0) 0 y? 0 ? y?? ? y 1 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,??) ? ? ? ? (1,3) ? ? 0 ??1,1? ? ? 1 ?1,3? ? 0 极小值 0 极大值 5 4．⑴函数y?1?3x2?x3单调递增区间为(0,1),(1,2)
单调递增区间为(??,0),(2,??)；
f?x? ? 4．又∵f??1???2,f?1??2,f?3???18 ∴f?x?max?f?1??2,f?x?min?f?3???18 第六节 函数图形的描绘（不作要求） 第七节 曲率（不作要求）
第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：
假设在定义区间I上，可导函数F?x?的导函数为F??x?，即当自变量x?I时，有F??x??f?x?或dF?x??f?x??dx成立，则称F?x?为f?x?的一
⑵函数y?1?3x2?x3的极小值在x?0时取到，
为f?0??1，
极大值在x?2时取到，为f?2??5；
⑶函数y?1?3x2?x3在区间(??,0),(0,1)上凹，
在区间(1,2),(2,??)上凸； ⑷函数y?1?3x2?x3的拐点坐标为?1,3?
第五节 函数的极值和最大、最小值 ○函数的极值与最值的关系（★★★）
⑴设函数f?x?的定义域为D，如果?xM的某个邻域U?xM??D，使得对?x?U?xM?，都适合不等式f?x??f?xM?，
我们则称函数f?x?在点??xM,f?xM???处有极大值f?xM?；
令xM??xM1,xM2,xM3,...,xMn?
则函数f?x?在闭区间?a,b?上的最大值M满足： M?max?f?a?,xM1,xM2,xM3,...,xMn,f?b??；
?个原函数
⑵原函数存在定理：（★★）
如果函数f?x?在定义区间I上连续，则在I上必存在可导函数F?x?使得F??x??f?x?，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★）
在定义区间I上，函数f?x?的带有任意常数项
C的原函数称为f?x?在定义区间I上的不定积分，
⑵设函数f?x?的定义域为D，如果?xm的某个邻域
U?xm??D，使得对?x?U?xm?，都适合不等
?即表示为：?f?x?dx?F?x??C
（?称为积分号，f?x?称为被积函数，f?x?dx称为积分表达式，x则称为积分变量）
○基本积分表（★★★）
○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）
?kf?x??kg?x???dx?k?f?x?dx?k?g?x?dx ??1212式f?x??f?xm?，
我们则称函数f?x?在点??xm,f?xm???处有极小值
f?xm?；
令xm??xm1,xm2,xm3,...,xmn?
则函数f?x?在闭区间?a,b?上的最小值m满足： m?min?f?a?,xm1,xm2,xm3,...,xmn,f?b??；
第二节 换元积分法
○第一类换元法（凑微分）（★★★） （dy?f??x??dx的逆向应用）
?f????x???????x?dx??f????x????d????x???
【题型示例】求函数f?x??3x?x在??1,3?上的最值
3高等数学期末复习资料 第6页（共9页）
【题型示例】求?【求解示例】
解：?1a?x221a?x12dx 2x?x?1d?arctan?C???aaaa?x???1????a?2第三节 分部积分法 ○分部积分法（★★）
⑴设函数u?f?x?，v?g?x?具有连续导数，则其
1dx???x?1????a?2dx?1分部积分公式可表示为：?udv?uv??vdu ⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：
⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v??dx?dv） ⑶使用分部积分公式：?udv?uv??vdu
【题型示例】求?【求解示例】
解：??12x?1dx?1212x?1dx
?12x?1d?2x?1???212x?1d?2x?1?
⑷展开尾项?vdu??v?u?dx，判断
a．若?v?u?dx是容易求解的不定积分，则直接计
算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法
与有理函数积分可以轻易求解出结果）；
2x?1?C ○第二类换元法（去根式）（★★）
（dy?f??x??dx的正向应用） ⑴对于一次根式（a?0,b?R）：
ax?b：令t?ax?b，于是x?t?ba2 b．若?v?u?dx依旧是相当复杂，无法通过a中方
，
法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现
容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C
【题型示例】求?ex?x2dx 【求解示例】
解：?e?xdx?2xx2则原式可化为t
⑵对于根号下平方和的形式（a?0）：
??22， a?x：令x?atant（??t?）
22于是t?arctanxa，则原式可化为asect；
?xx2edx?2xx?x22de?xe?xx2x?ed?x?x2⑶对于根号下平方差的形式（a?0）：
??22a．a?x：令x?asint（??t?），
22?xe?2?x?edx?xe?2?x?d?e2xxxx?x
?xe?2xe?2?edx?xe?2xe?2e?Cx于是t?arcsinb．
22xa【题型示例】求?ex?sinxdx 【求解示例】
解：?e?sinxdx???ed?cosx???ecosx?xxx，则原式可化为acost；
?2?cosxd?e?xx?a：令x?asect（0?t?ax），
??ecosx?xx?exxxcosxdx??ecosx?xx?ed?sinx?x
于是t?arccos【题型示例】求?【求解示例】
解：?12x?1，则原式可化为atant； 1dx（一次根式）
??ecosx?esinx??sinxd?e??ecosx?esinx?xxxx?x?esinxdxx2x?1即：?e?sinxdx??ecosx?esinx??sinxd?e?
dx?????t?2x?1121x?t?22dx?tdt?t?tdt??21dt?t?C?2x?1?C∴?e?sinxdx?x12ex?sinx?cosx??C
第四节 有理函数的不定积分 ○有理函数（★） 设：
P?x?Q?x??p?x??a0x?a1xmm?1n?1【题型示例】求?【求解示例】
22a?xdx（三角换元）
?22???am???bn解：?a?a?xdx????x??t?arcsinadx?acost2x?asint(??t??2)2?cos2tdt?a2q?x??b0x?b1xn
2??1?cos2t?dt对于有理函数
P?x?Q?x?，当P?x?的次数小于Q?x?的
是真分式；当P?x?的次数
?a?1a?t?sin2t?C???2?22?2?t?sintcost??C次数时，有理函数
P?x?Q?x?
高等数学期末复习资料 第7页（共9页）
大于Q?x?的次数时，有理函数
P?x?Q?x?是假分式
○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★） ⑴将有理函数
P?x?Q?x?第五章 定积分极其应用
第一节 定积分的概念与性质 ○定积分的定义（★）
的分母Q?x?分拆成两个没有
?banf?x?dx?lim???0i?1f??i??xi?I
公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式?x?a?；而另一个多项式可以表示为二次质因式?x2?px?q?，（p2?4q?0）； 即：Q?x??Q1?x??Q2?x?
nn?? 一般地：mx?n?m?x??，则参数a??
mm??l（f?x?称为被积函数，f?x?dx称为被积表达式，xb称为积分上限，则称为积分变量，a称为积分下限，
?a,b?称为积分区间）
k○定积分的性质（★★★） ⑴?f?x?dx?aaab?baf?u?du
⑵?f?x?dx?0
⑶??kf?x???dx?k?af?x?dx a?⑷（线性性质）
bb ax2?bx?c?a?x2???bax?c?? a? 则参数p?⑵则设有理函数
P?x?Q?x?P?x?Q?x?kba,q?ca
?ba??k1f?x??k2g?x???dx?k1?af?x?dx?k2?ag?x?dx ⑸（积分区间的可加性）
bb的分拆和式为：
P2?x??baf?x?dx??caf?x?dx??bcf?x?dx
?P1?x??x?a?A1x?a??x?px?q?2l
⑹若函数f?x?在积分区间?a,b?上满足f?x??0，则?f?x?dx?0；
ab其中 P1?x?k（推论一）
??A2?x?a?P2?x?
?x?a?22?...?Ak?x?a?2k
若函数f?x?、函数g?x?在积分区间?a,b?上满足f?x??g?x?，则?f?x?dx?a2b?x2?px?q?l?M1x?N1x?px?q?M2x?N2?bag?x?dx；
?x?px?q?（推论二）
?baf?x?dx??baf?x?dx
?...?Mlx?Nl?x?px?q?2l○积分中值定理（不作要求） 第二节 微积分基本公式
○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）
（定理三）若果函数F?x?是连续函数f?x?在区间
?Ml?M1?M2A,A,...,A,,,..., 参数12由待定系??k?NNN?1?2?l数法（比较法）求出
⑶得到分拆式后分项积分即可求解
?a,b?上的一个原函数，则
??dx??d??x?x?baf?x?dx?F?b??F?a?
【题型示例】求?【求解示例】
x2○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）
dx（构造法）
f?t?dt?f????x??????x??f???1cosxx?1?x??????x?
?x?1?x2dx???x?1?x??x?1??1x?1dx?1??x?1??dx??x?1??
?【题型示例】求limx?0ex?t2dt2
【求解示例】
?xdx??dx??x?11dx?12x?x?ln?x?1??C2
第五节 积分表的使用（不作要求）
?解：limx?01cosxex?t2dt002?limdx?d1cosx2e?t2dtL?x?0?x??
高等数学期末复习资料 第8页（共9页）
?lim00e?1?0?e?cosx2???sinx?2x?02xsinx?e?dxd?cosx?limsinx?e2x?cosx2x?0○偶倍奇零（★★）
设f?x??C??a,a?，则有以下结论成立： ⑴若f??x??f?x?，则?a?a?lim??cosx2f?x?dx?2?f?x?dx
0a?aaL?x?0?2x??cosx?e?cosx2⑵若f??x???f?x?，则??sinx?e2?2sinxcosxf?x?dx?0
?lim112x?02
第四节 定积分在几何上的应用（暂时不作要求） 第五节 定积分在物理上的应用（暂时不作要求） 第六节 反常积分（不作要求）
?cos?lim?e2x?0?x?sinx?cosx??2sinxcosx????e?1?12e第三节 定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法（★★★） ⑴（第一换元法）
?baf????x???????x?dx?20?baf????x????d????x???
如：不定积分公式?11?x2dx?arctanx?C的证明。很
【题型示例】求?【求解示例】
解：??12212x?1dx
多同学上课时无法证明，那么在学期结束时，我给出这样
一种证明方法以说明问题：
1212x?10dx?12?2012x?1d?2x?1????ln2x?1??20?1?x?1dx???????2?12????x?tant???t??22??t?arctanx?1?tan212t??tant???dt?dt??ln5?ln1??ln52?sec12tcost?dt??cost?dx?21cost1a2?dt
?t?C?arctanx?C ⑵（第二换元法）
设函数f?x??C?a,b?，函数x???t?满足： a．??,?，使得?????a,?????b；
b．在区间??,??或??,??上，f????t???,???t?连续 则：?f?x?dx?ab如此，不定积分公式?1a?x2arctanxa?C也就很
???f????t??????t?dt dx
【题型示例】求?【求解示例】 解：??12440x?22x?1容易证明了，希望大家仔细揣摩，认真理解。
最后，限于编者水平的限制，资料中错误和疏漏在所难免，希望同学们积极指出，以便互相学习改进。
x?22x?130dx???????x?0,t?1x?4,t?3t?2x?1?0,x?t2t?1222?32?t32dx31?t?3t21?t?dt?12?311?1??t2?3?dt?2?3t3?3x?
??1?9?533⑶（分部积分法）
?22??babau?x?v??x?dx?u?x?v?x??u?x?dv?x????u?x?v?x???ba?v?x?u??x?dx
ab??v?x?du?x?ab高等数学期末复习资料 第9页（共9页）
大一高数复习资料
