2??y???3x?6x??3x?x?2? 1.?
??y????6x?6??6?x?1?【求解示例】
1.∵函数f?x?在其定义域??1,3?上连续,且可导
∴f??x???3x?3
2??x1?0,x2?2?y???3x?x?2??0 2.令?解得:?
??x?1?y????6?x?1??02.令f??x???3?x?1??x?1??0,
解得:x1??1,x2?1 3.(三行表) x f??x? ?1 3.(四行表) x (??,0) 0 y? 0 ? y?? ? y 1 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,??) ? ? ? ? (1,3) ? ? 0 ??1,1? ? ? 1 ?1,3? ? 0 极小值 0 极大值 5 4.⑴函数y?1?3x2?x3单调递增区间为(0,1),(1,2)
单调递增区间为(??,0),(2,??);
f?x? ? 4.又∵f??1???2,f?1??2,f?3???18 ∴f?x?max?f?1??2,f?x?min?f?3???18 第六节 函数图形的描绘(不作要求) 第七节 曲率(不作要求)
第八节 方程的近似解(不作要求) 第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念(★★) ⑴原函数的概念:
假设在定义区间I上,可导函数F?x?的导函数为F??x?,即当自变量x?I时,有F??x??f?x?或dF?x??f?x??dx成立,则称F?x?为f?x?的一
⑵函数y?1?3x2?x3的极小值在x?0时取到,
为f?0??1,
极大值在x?2时取到,为f?2??5;
⑶函数y?1?3x2?x3在区间(??,0),(0,1)上凹,
在区间(1,2),(2,??)上凸; ⑷函数y?1?3x2?x3的拐点坐标为?1,3?
第五节 函数的极值和最大、最小值 ○函数的极值与最值的关系(★★★)
⑴设函数f?x?的定义域为D,如果?xM的某个邻域U?xM??D,使得对?x?U?xM?,都适合不等式f?x??f?xM?,
我们则称函数f?x?在点??xM,f?xM???处有极大值f?xM?;
令xM??xM1,xM2,xM3,...,xMn?
则函数f?x?在闭区间?a,b?上的最大值M满足: M?max?f?a?,xM1,xM2,xM3,...,xMn,f?b??;
?个原函数
⑵原函数存在定理:(★★)
如果函数f?x?在定义区间I上连续,则在I上必存在可导函数F?x?使得F??x??f?x?,也就是说:连续函数一定存在原函数(可导必连续) ⑶不定积分的概念(★★)
在定义区间I上,函数f?x?的带有任意常数项
C的原函数称为f?x?在定义区间I上的不定积分,
⑵设函数f?x?的定义域为D,如果?xm的某个邻域
U?xm??D,使得对?x?U?xm?,都适合不等
?即表示为:?f?x?dx?F?x??C
(?称为积分号,f?x?称为被积函数,f?x?dx称为积分表达式,x则称为积分变量)
○基本积分表(★★★)
○不定积分的线性性质(分项积分公式)(★★★)
?kf?x??kg?x???dx?k?f?x?dx?k?g?x?dx ??1212式f?x??f?xm?,
我们则称函数f?x?在点??xm,f?xm???处有极小值
f?xm?;
令xm??xm1,xm2,xm3,...,xmn?
则函数f?x?在闭区间?a,b?上的最小值m满足: m?min?f?a?,xm1,xm2,xm3,...,xmn,f?b??;
第二节 换元积分法
○第一类换元法(凑微分)(★★★) (dy?f??x??dx的逆向应用)
?f????x???????x?dx??f????x????d????x???
【题型示例】求函数f?x??3x?x在??1,3?上的最值
3高等数学期末复习资料 第6页(共9页)
【题型示例】求?【求解示例】
解:?1a?x221a?x12dx 2x?x?1d?arctan?C???aaaa?x???1????a?2第三节 分部积分法 ○分部积分法(★★)
⑴设函数u?f?x?,v?g?x?具有连续导数,则其
1dx???x?1????a?2dx?1分部积分公式可表示为:?udv?uv??vdu ⑵分部积分法函数排序次序:“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤:
⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序; ⑵就近凑微分:(v??dx?dv) ⑶使用分部积分公式:?udv?uv??vdu
【题型示例】求?【求解示例】
解:??12x?1dx?1212x?1dx
?12x?1d?2x?1???212x?1d?2x?1?
⑷展开尾项?vdu??v?u?dx,判断
a.若?v?u?dx是容易求解的不定积分,则直接计
算出答案(容易表示使用基本积分表、换元法
与有理函数积分可以轻易求解出结果);
2x?1?C ○第二类换元法(去根式)(★★)
(dy?f??x??dx的正向应用) ⑴对于一次根式(a?0,b?R):
ax?b:令t?ax?b,于是x?t?ba2 b.若?v?u?dx依旧是相当复杂,无法通过a中方
,
法求解的不定积分,则重复⑵、⑶,直至出现
容易求解的不定积分;若重复过程中出现循环,则联立方程求解,但是最后要注意添上常数C
【题型示例】求?ex?x2dx 【求解示例】
解:?e?xdx?2xx2则原式可化为t
⑵对于根号下平方和的形式(a?0):
??22, a?x:令x?atant(??t?)
22于是t?arctanxa,则原式可化为asect;
?xx2edx?2xx?x22de?xe?xx2x?ed?x?x2⑶对于根号下平方差的形式(a?0):
??22a.a?x:令x?asint(??t?),
22?xe?2?x?edx?xe?2?x?d?e2xxxx?x
?xe?2xe?2?edx?xe?2xe?2e?Cx于是t?arcsinb.
22xa【题型示例】求?ex?sinxdx 【求解示例】
解:?e?sinxdx???ed?cosx???ecosx?xxx,则原式可化为acost;
?2?cosxd?e?xx?a:令x?asect(0?t?ax),
??ecosx?xx?exxxcosxdx??ecosx?xx?ed?sinx?x
于是t?arccos【题型示例】求?【求解示例】
解:?12x?1,则原式可化为atant; 1dx(一次根式)
??ecosx?esinx??sinxd?e??ecosx?esinx?xxxx?x?esinxdxx2x?1即:?e?sinxdx??ecosx?esinx??sinxd?e?
dx?????t?2x?1121x?t?22dx?tdt?t?tdt??21dt?t?C?2x?1?C∴?e?sinxdx?x12ex?sinx?cosx??C
第四节 有理函数的不定积分 ○有理函数(★) 设:
P?x?Q?x??p?x??a0x?a1xmm?1n?1【题型示例】求?【求解示例】
22a?xdx(三角换元)
?22???am???bn解:?a?a?xdx????x??t?arcsinadx?acost2x?asint(??t??2)2?cos2tdt?a2q?x??b0x?b1xn
2??1?cos2t?dt对于有理函数
P?x?Q?x?,当P?x?的次数小于Q?x?的
是真分式;当P?x?的次数
?a?1a?t?sin2t?C???2?22?2?t?sintcost??C次数时,有理函数
P?x?Q?x?
高等数学期末复习资料 第7页(共9页)
大于Q?x?的次数时,有理函数
P?x?Q?x?是假分式
○有理函数(真分式)不定积分的求解思路(★) ⑴将有理函数
P?x?Q?x?第五章 定积分极其应用
第一节 定积分的概念与性质 ○定积分的定义(★)
的分母Q?x?分拆成两个没有
?banf?x?dx?lim???0i?1f??i??xi?I
公因式的多项式的乘积:其中一个多项式可以表示为一次因式?x?a?;而另一个多项式可以表示为二次质因式?x2?px?q?,(p2?4q?0); 即:Q?x??Q1?x??Q2?x?
nn?? 一般地:mx?n?m?x??,则参数a??
mm??l(f?x?称为被积函数,f?x?dx称为被积表达式,xb称为积分上限,则称为积分变量,a称为积分下限,
?a,b?称为积分区间)
k○定积分的性质(★★★) ⑴?f?x?dx?aaab?baf?u?du
⑵?f?x?dx?0
⑶??kf?x???dx?k?af?x?dx a?⑷(线性性质)
bb ax2?bx?c?a?x2???bax?c?? a? 则参数p?⑵则设有理函数
P?x?Q?x?P?x?Q?x?kba,q?ca
?ba??k1f?x??k2g?x???dx?k1?af?x?dx?k2?ag?x?dx ⑸(积分区间的可加性)
bb的分拆和式为:
P2?x??baf?x?dx??caf?x?dx??bcf?x?dx
?P1?x??x?a?A1x?a??x?px?q?2l
⑹若函数f?x?在积分区间?a,b?上满足f?x??0,则?f?x?dx?0;
ab其中 P1?x?k(推论一)
??A2?x?a?P2?x?
?x?a?22?...?Ak?x?a?2k
若函数f?x?、函数g?x?在积分区间?a,b?上满足f?x??g?x?,则?f?x?dx?a2b?x2?px?q?l?M1x?N1x?px?q?M2x?N2?bag?x?dx;
?x?px?q?(推论二)
?baf?x?dx??baf?x?dx
?...?Mlx?Nl?x?px?q?2l○积分中值定理(不作要求) 第二节 微积分基本公式
○牛顿-莱布尼兹公式(★★★)
(定理三)若果函数F?x?是连续函数f?x?在区间
?Ml?M1?M2A,A,...,A,,,..., 参数12由待定系??k?NNN?1?2?l数法(比较法)求出
⑶得到分拆式后分项积分即可求解
?a,b?上的一个原函数,则
??dx??d??x?x?baf?x?dx?F?b??F?a?
【题型示例】求?【求解示例】
x2○变限积分的导数公式(★★★)(上上导―下下导)
dx(构造法)
f?t?dt?f????x??????x??f???1cosxx?1?x??????x?
?x?1?x2dx???x?1?x??x?1??1x?1dx?1??x?1??dx??x?1??
?【题型示例】求limx?0ex?t2dt2
【求解示例】
?xdx??dx??x?11dx?12x?x?ln?x?1??C2
第五节 积分表的使用(不作要求)
?解:limx?01cosxex?t2dt002?limdx?d1cosx2e?t2dtL?x?0?x??
高等数学期末复习资料 第8页(共9页)
?lim00e?1?0?e?cosx2???sinx?2x?02xsinx?e?dxd?cosx?limsinx?e2x?cosx2x?0○偶倍奇零(★★)
设f?x??C??a,a?,则有以下结论成立: ⑴若f??x??f?x?,则?a?a?lim??cosx2f?x?dx?2?f?x?dx
0a?aaL?x?0?2x??cosx?e?cosx2⑵若f??x???f?x?,则??sinx?e2?2sinxcosxf?x?dx?0
?lim112x?02
第四节 定积分在几何上的应用(暂时不作要求) 第五节 定积分在物理上的应用(暂时不作要求) 第六节 反常积分(不作要求)
?cos?lim?e2x?0?x?sinx?cosx??2sinxcosx????e?1?12e第三节 定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法(★★★) ⑴(第一换元法)
?baf????x???????x?dx?20?baf????x????d????x???
如:不定积分公式?11?x2dx?arctanx?C的证明。很
【题型示例】求?【求解示例】
解:??12212x?1dx
多同学上课时无法证明,那么在学期结束时,我给出这样
一种证明方法以说明问题:
1212x?10dx?12?2012x?1d?2x?1????ln2x?1??20?1?x?1dx???????2?12????x?tant???t??22??t?arctanx?1?tan212t??tant???dt?dt??ln5?ln1??ln52?sec12tcost?dt??cost?dx?21cost1a2?dt
?t?C?arctanx?C ⑵(第二换元法)
设函数f?x??C?a,b?,函数x???t?满足: a.??,?,使得?????a,?????b;
b.在区间??,??或??,??上,f????t???,???t?连续 则:?f?x?dx?ab如此,不定积分公式?1a?x2arctanxa?C也就很
???f????t??????t?dt dx
【题型示例】求?【求解示例】 解:??12440x?22x?1容易证明了,希望大家仔细揣摩,认真理解。
最后,限于编者水平的限制,资料中错误和疏漏在所难免,希望同学们积极指出,以便互相学习改进。
x?22x?130dx???????x?0,t?1x?4,t?3t?2x?1?0,x?t2t?1222?32?t32dx31?t?3t21?t?dt?12?311?1??t2?3?dt?2?3t3?3x?
??1?9?533⑶(分部积分法)
?22??babau?x?v??x?dx?u?x?v?x??u?x?dv?x????u?x?v?x???ba?v?x?u??x?dx
ab??v?x?du?x?ab高等数学期末复习资料 第9页(共9页)
大一高数复习资料
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