揭阳一中2011—2012学年高三上学期摸底考试
数 学（文科）
本试卷共21页，三大题，满分150分。考试用时120分钟。
第I卷（选择题）（50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
21．已知集合M，N，则M∩N=( ) ?{xx?3}?(x|x?6x?8?0)A.φ B.{ C.{ D.{ x|0?x?3}x|1?x?3}x|2?x?3}3?i等于( ) 1?iA.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i
22
3．“a??1”是函数y=cosax-sinax的最小正周期为“π”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C.充要条件 D．既不充分条件也不必要条件
2．复数
log(4?x),x?0?24．定义在R上的函数f(x)满足f(，则f(3)的值为( ) x)??f(x?1)?f(x?2),x?0?A.-1 B. -2 C.1 D. 2 5．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为是( )
5，则判断框中应填入的条件6
A.i<4 B.i<5 C.i≥5 D.i<6 6．如果一空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形，俯视图是半径为3的圆及其圆心，则这个几何体的体积为( )
A．3? B.3π C．33? D．93? 7．已知向量a,b的夹角为600，且|a|?2,|b|?1，则向量a与a?2b的夹角为( ) A.150 B.120 C.60 D.30
2
8．设斜率为2的直线l过抛物线y=ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )．
A．y2??4x B.y2??8x C.y=4x D.y=8x
2
2
0
0
0
0
:?x?[1,2]，x-a≥0，命题q:?x?R，x+2ax+2-a=0.若命题p且q是真命题，9．已知命题p则实数a的取值范围为( )
A．a≤-2或a=1 B.a≤-2或1≤a≤2 C．a≥1 D．-2≤a≤1
22
1
?4x?3y?25?0?10.已知O为直角坐标系原点，P，Q坐标均满足不等式组?x?2y?2?0，则使cos∠POQ
?x?1?0?取最小值时的∠POQ的大小为( ) A．
?? B．π C．2π D． 24第II卷（非选择题）（100分）
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题(11-13题)
11.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a4=9，S3=15，则数列{an}的通项为________ 12.若直线2ax-by+2=0（a>0，b>0）被圆x+y+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则
2
2
13?的最小ab值为________
13.某企业三月中旬生产，A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计员制作了如下的统计表格；
由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是____件。 （二）选做题(14、15题，考生只能从中选做一题) 14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，B、C为切点， 且OC=3，AB=4，延长AO到D点，则△ABD的面积是___________.
2?cos??x??15.（坐标系与参数方程选做题）设P（x,y）是曲线C:?
y?sin??（θ为参数）上任意一点，则
y的取值范围是___________. x
三．解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本题满分12分）在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满
B2sinB(2cos?1)??3cos2B足2.
2(1)求B的大小；
(2)如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．
17.（本题满分12分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取
了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下
2
方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；……；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．
(1)将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17)内的人数； (2)求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；
(3)若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值 大于1秒的概率． 18．（本题满分14分）已知如图：平行四边形ABCD中，BC=6，正方形ADEF所在平面与平面
ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点． (1)求证：GH∥平面CDE； (2)若CD=2，DB?42，求四棱锥F-ABCD的体积.
22y5x19．（本题满分14分）已知椭圆C的离心率为，短轴一个端点到:2?2?1(a?b?0)3ab右焦点的距离为3． (1)求椭圆C的方程；
222
(2)过椭圆C上的动点P引圆O：x+y=b的两条切线PA、PB，
A、B分别为切点，试探究椭圆C上是否存在点P，由点P向圆O所
引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
3x?2120.（本题满分14分）已知函数F. (x)?,(x?)2x?12122009(1)求F()?F()???F()的值：
201020102010(2)已知数列{an}满足a1=2，an+1=F(an)，求证数列{1}是等差数列： an?1(3)已知bn?
2n?1，求数列{anbn}的前n项和Sn． 2n12(x)?x?x?a. 21．（本题满分14分） 已知f(x)=xlnx，g2(1)当a=2时，求函数y=g(x)在[0，3]上的值域； (2)求函数f(x)在[t，t+2](t>0)上的最小值；
g'(x)?12lnx??成立 (3)证明：对一切x∈(0，+∞)，都有xxee
3
参考答案
一.选择题 DCCBD DDBAD
二.填空题 11.2n+1 12.4?23 13.800 14．
3348 15．[?,]
3352B3cos2B?2sinBcosB??3cos2B?tan2B??3……4分 16．(1)解：2sinB(2cos?1)??22??∵0<2B<π，?2B?，?B? ……6分
33(2)由tan2B??3?B?
322
∵b=2，由余弦定理，得：4=a+c-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) …9分
?13∵△ABC的面积S?acsinB?ac?3 ?ABC24∴△ABC的面积最大值为3 …12分
17.解：(1)百米成绩在[16，17)内的频率为0.32×1=0.32. 0.32×1000=320 ∴估计该年段学生中百米成绩在[16，17)内的人数为320人。……2分
(2)设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x依题意：得3x+8x+19x+0.32×1+0.08×1=1，
∴x=0.02 ……4分
8 ∴n=50 n∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩. ……6分
(3)百米成绩在第一组的学生数有3×0.02×1×50=3，记他们的成绩为，a，b，c 百米成绩在第五组的学生数有0.08×1×50=4，记他们的成绩为m，n，p，q 则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有
{a,b}，{a,c}，{a，m}，{a，n}，{a,p},{a，q}，{b，c}，{b，m}，{b,n}， {b,p},{b,q},{c,m}，{c,n}，{c,p},{c,q}，{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q}, {p,q}, 共21个……9分
其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a，b}，{a,n}，{a,p}，{a，q}， {n,m},{b,n}，{b,p}，{b,q}，{c,m}，{c,n}，{c,p}，{c,q}，共12个， ……10分
124所以P?? ……12分
217
18. (1)证法:∵EF//AD, AD//BC ∴EF//BC且EF=AD=BC ∴四边形EFBC是平行四边形 ∴H为FC的中点 ………2分 又∵G是FD的中点
∴HG//CD ………4分 ?HG??平面CDE ?平面CDE，CD∴GH//平面CDE ………7分
证法2：连结EA，∵ADEF是正方形 ∴G是AE的中点 ………1分 ∴在△EAB中，GH//AB …………………3分
设调查中随机抽取了n个学生的百米成绩，则8?0.02?
4
又∵AB//CD，∴GH//CD，…………………………4分 ?HG??平面CDE ?平面CDE，CD∴GH//平面CDE ………7分 (2)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD
且FA⊥AD， ∴FA⊥平面ABCD． ………9分 ∵BC=6, ∴FA=6 又∵CD=2,DB?42, CD+DB=BC
∴BD⊥CD ………11分 ?S?CD?BD?82口ABCD2
2
2
11?V?S?FA??82?6?162 …………………14分 F?ABCD口ABCD33
??c???a?c，依题意??a?3??2??a???53 ………3分
19．解：(1)设椭圆的半焦距为
b2?c2∴b=2， …………………4分
x2y2∴所求椭圆方程为???1 ……………5分
94(2)如图，设P点坐标为(x0，y0)，……………6分
0
若∠APB=90，则有|OA|?|AP| ………7分
|?|OP|2?|OA|2 ………8分 即|OA22?x4 有20?y0?22两边平方得x8 ……①………9分 0?y0?22又因为P(x0，y0)在椭圆上，所以4 ……②……10分 x9y360?0?364，y02? ……11分 55所以满足条件的有以下四组解
2①，②联立解得x0???65??656565x??x??0x?x???0??5??0?0?555，，， ………13分 ????252525????y??25y?y??y?00????55?0?05?2?所以，椭圆C上存在四个点(6525652565256525,?)，(?,)，(?,)，(,?)，55555555分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直． ………………14分
5
揭阳一中届高三上学期摸底考试文数
