教师版 2015 高中数学必修+选修知识点归纳
引言 难点：函数、圆锥曲线
高考相关考点： 1. 课程内容：
⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充 必修课程由 5 个模块组成：
必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂要条件
函数） ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、
必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函必修 3：算法初步、统计、概率。 数、对数与对数函数、函数的应用 必修 4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列
恒等变换。
求和、数列的应用
必修 5：解三角形、数列、不等式。 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、
以上是每一个高中学生所必须学习的。
倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和
的图象与性质、三角函数的应用
基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不
⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积
等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不
及其应用
同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识
⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、
的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过
不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用
高的要求。
⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、
此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计
线性规划、圆、直线与圆的位置关系
等内容。
⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥
选修课程有 4 个系列：
曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用
系列 1：由 2 个模块组成。
⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、
选修 1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及
平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量
其应用。
⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理
选修 1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、
及其应用
框图
⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正
系列 2：由 3 个模块组成。
态分布
选修 2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 空间向量与立体几何。
⒀复数：复数的概念与运算 选修 2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充必修 1 数学知识点与复数
第一章：集合与函数概念 选修 2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。
系列 3：由 6 个专题组成。 §1.1.1、集合 选修 3—1：数学史选讲。 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体选修 3—2：信息安全与密码。叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 选修 3—3：球面上的几何。选
2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合
修 3—4：对称与群。
相等。
选修 3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 *
3、 常见集合：正整数集合： N 或 N ??，整数集合： Z ， 选修 3—6：三等分角与数域扩充。
系列 4：由 10 个专题组成。
有理数集合： Q ，实数集合： R . 选修 4—1：几何证明选讲。
选修 4—2：矩阵与变换。
4、集合的表示方法：列举法、描述法. 选修 4—3：数列与差分。
§1.1.2、集合间的基本关系 选修 4—4：坐标系与参数方程。选修 4—5：不等式选讲。 1、 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意选修 4—6：初等数论初步。 一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A 是集合选修 4—7：优选法与试验设计初步。
B 的子集。记作 A ? B .
选修 4—8：统筹法与图论初步。
2、 如果集合 A ? B ，但存在元素 x ? B ，且 x ? A ，
选修 4—9：风险与决策。
则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作：AB. 选修 4—10：开关电路与布尔代数。
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作： ? .并规2. 重难点及考点：
定：空集合是任何集合的子集. 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，
立体几何，导数
- 0 -
n
4、 如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有 2 个子
集， 2n ?1个真子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、 一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的
集合，称为集合 A 与 B 的并集.记作： A ? B . 2、 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组
成的集合，称为 A 与 B 的交集.记作： A ? B . 3、全集、补集？ CU A ? {x | x ?U ,且x ?U} §1.2.1、函数的概念
1、 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应
关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集
合 B 中都有惟一确定的数 f ?x? 和它对应，那么就称 f : A ? B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作：
函数 y ??f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ??f (x) 在
P(x , f (x )) 处的切线的斜率 f ?(x ) ，相应的切线方
0
0
0
程是 y ? y0 ??f ?(x0 )(x ? x0 ) . 2、几种常见函数的导数 ① C ' ? 0 ；② (xn )' ? nxn?1 ；
③
(sin x)' ? cos x ； ④ (cos x)' ? ?sin x ；
⑤ (a x )' ? a x ln a ； ? (ex )' ? ex ； ⑦
1 ；⑧ (ln x)' ? 1 (loga x)??
x ln a x
'
3、导数的运算法则 （1） (u ? v)' ? u' ? v' . （2） (uv)' ? u'v ? uv' .
y ? f ?x?, x ? A .
2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一
致，则称这两个函数相等.
§1.2.2、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法：
(1) 定义法：设 x1、x2 ?[a, b], x1 ? x2 那么
u u'v ? uv' （3） ( )' ??
v v2 (v ? 0) .
4、复合函数求导法则 复合函数 y ? f (g(x)) 的导数和函数
y ? f (u), u ? g(x) 的导数间的关系为 yx? ? yu? ? ux? ， 即 y 对 x 的导数等于 y 对u 的导数与u 对 x 的导数的
乘积.
解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值(1)极值定义：
极值是在 x0 附近所有的点，都有 f (x) ＜ f (x0 ) ， 则 f (x0 ) 是函数 f (x) 的极大值；
f (x1 ) ? f (x2 ) ? 0 ? f (x)在[a, b] 上是增函数； f (x1 ) ? f (x2 ) ? 0 ? f (x)在[a, b] 上是减函数.
步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式： 解： 设 x1 , x2 ??a, b?且 x1 ? x2
， 则：
f ?x1 ? ? f ?x2 ?=… 极值是在 x0 附近所有的点，都有 f (x) ＞ f (x0 ) ， (2) 导数法：设函数 y ??f (x) 在某个区间内可导， 若 f ?(x) ? 0 ，则 f (x) 为增函数；若则 f (x0 ) 是函数 f (x) 的极小值. f ?(x) ? 0 ，则 f (x) 为减函数.
§1.3.2、奇偶性
1、 一般地，如果对于函数 f ?x? 的定义域内任意一个
(2)判别方法：
①如果在 x0 附近的左侧 f ' (x)
＞0，右侧 f ' (x) ＜0，
x ，都有 f ?? x? ? f ?x?，那么就称函数 f ?x? 为偶
a ? 1 0 ? a ? 1 图象 函数.偶函数图象关于 y 轴对称.
的定义域内任意一个 2、 一般地，如果对于函数 f ? x ??
?
1 -2 1 2 4 -4 -2 0 0 -12 4 x ，都有 f ?? x? ? ? f ?x?，那么就称函数 f ?x? 为
奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数
1、函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义：
性质 (1)定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过定点（0，1），即 x=0 时，y=1 4 在 R 上是增函数 （4）在 R 上是减函数 x (5) x ? 0, a? 1 ; (5) x ? 0, 0 ? ax ? 1 ; x ? 0, 0 ? a? 1 x x ? 0, a? 1 x - 1 -
那么 f (x0 ) 是极大值； ②如果在 x0 附近的左侧 f ' (x) 极小值. 6、求函数的最值 (1) 求 y ??
＜0，右侧 f ' (x) ＞0， 那么 f (x
§2.2.1、对数与对数运算
1、指数与对数互化式： ax ? N ? x ? log aN ；
0 )
是
2、对数恒等式： aloga ? N .
N
3、基本性质： log a 1 ? 0 ， log a a ? 1 .
f (x) 在(a, b) 内的极值（极大或者极小值） 4、运算性质：当 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时： f (x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较，其中
⑴ log a ?MN ? ? log a M ? log a N ； ⑵ log N ? log M ? log N ；
? a ? a a
(2) 将 y ??
最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。
注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）； 最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。
?
? M ?
?
??
第二章：基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算
1、 一般地，如果 x ? a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根。
n
⑶ log M a M ? n log a .
5、换底公式： log
n
logc b
b ? a log c a
其中 n ? 1, n ? N ? .
?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0?.
2、 当 n 为奇数时， a
n n
? a ；
当 n 为偶数时， n
3、 我们规定：
⑴ a ? a
n
m
an ? a .
m m
b ? log b 6、重要公式： log an
n a 1
7、倒数关系： log a b ? ?a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1? .
logb a
§2..2.2、对数函数及其性质
1、记住图象： y ? log a x?a ? 0, a ? 1??
y
m n ?a ? 0, m, n ??N , m ??1?；
*
?n
?
⑵ a
?
1
? ? ??
n
a
n 0 ；
y=logax
0 o 4、 运算性质： ⑴ ar as ? ar?s ?a ? 0, r, s ? Q?； ⑵ ar 1 x 2、性质： a>1 ??s ? ars ?a ? 0, r, s ? Q?； ⑶ ?ab?? arbr ?a ? 0, b ? 0, r ? Q?. r §2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象： y ? a x ?a ? 0, a ? 1?? y y=ax 0 1 o x a>1 ? 2、性质： - 2 -
(完整版)最全教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》(最新整理)
