优化方案高考理科数学北师大一轮复习练习：第5章 数列 第1讲知能训练轻松闯关 含答案

1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )

111

A．1，，，，…

234

B．－1，－2，－3，－4，…

111

C．－1，－，－，－，…

248

D．1，2，3，…，n

解析：选C.根据定义，属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C、D，故同时满足要求的是选项C.

2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18＝( ) A．33 B．34 C．35 D．36 解析：选B.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，故a2＋a18＝34.

?1＋a，n为偶数，3．(2016·杭州模拟)数列{a}定义如下：a＝1，当n≥2时，a＝?若a＝

1

?a，n为奇数，

n2

n1nn

n－1

1

，则n的值为( ) 4

A．7 C．9

B．8 D．10

1111

解析：选C.因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1

a22a43

31211

＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9，故选C.

2a63a84

4．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 解析：选D.因为Sn＋Sn＋1＝an＋1， 所以当n≥2时，Sn－1＋Sn＝an， 两式相减，得an＋an＋1＝an＋1－an， 所以an＝0(n≥2)．

当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，所以a1＝0.

所以an＝0，(n∈N*)． 5．(2016·长春质量检测)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝( )

12A.n－1 B. 3n（n＋1）

5－2n6

C. D.

3（n＋1）（n＋2）

a2a3a4an

解析：选B.由题意知Sn＋nan＝2，当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，从而···…·＝

a1a2a3an－112n－122··…·，有an＝，当n＝1时上式成立，所以an＝. 34n＋1n（n＋1）n（n＋1）

6．已知数列{an}的通项公式an＝n2－(6＋2λ)n＋2 016，若 a6或a7为数列{an}的最小项，则

实数λ的取值范围是( ) A．(3，4) C．[3，4]

B．[2，5] 59?D.??2，2?

111559

解析：选D.依题意，由二次函数的性质可知，当＜3＋λ＜，即＜λ＜时，a6或a7为数

2222

59?列{an}的最小项，故实数λ的取值范围为??2，2?.

7．已知数列3， 7，11，15，…，则53是数列的第________项． 解析：易知数列的一个通项公式为an＝令即

4n－1＝53， 4n－1＝75，

4n－1.

所以4n－1＝75，故n＝19. 答案：19 8．(2016·焦作模拟)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，则an＝________． 解析：Sn＋1＝2Sn＋1.① 当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋1.② ①－②，得an＋1＝2an.

所以an＝2an－1，an－1＝2an－2，…，a2＝2a1， 所以an＝2n－1a1＝2n－1. 当n＝1时，也适合上式，

所以an＝2n－1.

－

答案：2n1 9．(2016·北京东城区模拟)已知函数f(x)的对应关系如下表所示，数列{an}满足a1＝3，an＋1＝f(an)，则a4＝________，a2 015＝________. x 1 2 3 f(x) 3 2 1

解析：因为a1＝3，所以a2＝f(a1)＝f(3)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝3，a4＝f(a3)＝f(3)＝1，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，所以a2 015＝a1＝3. 答案：1 3

10．(2016·太原模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝________．

12?1－1?11解析：由an－an＋1＝得－＝＝2×?nn＋1?，则由累加法得－ana1??n（n＋1）an＋1ann（n＋1）

2anan＋1

1

3n－21?1?1n??1－1－＝2?，又因为a＋1＝，所以a. 1＝1，所以＝2n＝n?an?n?n3n－2答案：

n

3n－2

2anan＋1

(n∈N＋)，则an＝

n（n＋1）

11*11．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a2n＋an(n∈N)． 22

(1)求a1，a2， a3，a4的值； (2)求数列{an}的通项公式．

11121*

解：(1)由Sn＝a2n＋an(n∈N)，可得a1＝a1＋a1， 2222解得a1＝1；

11

S2＝a1＋a2＝a22＋a2， 22解得a2＝2；

同理a3＝3，a4＝4.

11(2)Sn＝a2n＋an，① 22

11

当n≥2时，Sn－1＝a2n－1＋an－1，② 22①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0. 由于an＋an－1≠0， 所以an－an－1＝1， 又由(1)知a1＝1，

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.

＋

12．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n1－2. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式． 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n. 因为a1也适合此等式， 所以an＝2n(n∈N*)．

(2)因为bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1， 所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.