【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第一章 集合与函数概念
新人教版必修1
1.1 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义
目标定位 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义.2.理解集合中
元素的三个特性，掌握常用数集的表示符号并会识别应用.
自 主 预 习
1.元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合.
(3)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(4)集合的相等：构成两集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的.
2.元素与集合的表示
(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.
(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合.
3.元素与集合的关系
(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)“不属于”：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A.
4.常用数集及表示符号
数集 符号 非负整数集(自然数集) N 正整数集 N或 N＋ *整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 温馨提示：注意正整数集比自然数集中少一个元素“0”. 即 时 自 测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在120分以上的同学组成一个集合.( )
(2)一个集合可以表示成{a，a，b，c，}.( )
(3)若集合A是由元素1，2，3，4，5，6所组成的集合，则－1和0都不是集合A中的元素.( )
提示 (1)“120分以上”是明确的标准，所以“120分以上的同学”能组成集合.正确.
(2)集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象归入同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.错
误.
(3)集合中A只有元素1，2，3，4，5，6，没有－1和0.正确.
答案 (1)√ (2)× (3)√
2.下列各组对象：①高中数学中所有难题；②所有偶数；③平面上到定点O距离等于5的点的全体；④全体
著名的数学家.其中能构成集合的个数为( )
D.4
C.3
B.2
A.1
解析 ②、③中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合.
答案 B
3.下列关系正确的是( )
①0∈N；②2∈Q；③?R；④－2?Z.
D.①
C.②④
B.①③
A.③④
12解析 ①正确，∵0是自然数，∴0∈N；②不正确，∵2是无理数，∴2?Q；③不正确，∵是实数，∴
1212 ∈R；④不正确，∵－2是整数，∴－2∈Z.
答案 D
4.若1∈A，且集合A与集合B相等，则1________B(填“∈”“?”).
解析 集合A与集合B相等，则A、B两集合的元素完全相同，又1∈A，故1∈B.
答案 ∈
类型一 集合的含义
【例1】 下列各组对象不能组成集合的是( )
A.著名的中国数学家 B.北京四中2015级新生
C.全体奇数
D.2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目
解析 根据集合元素的确定性来判断是否能组成集合，因为B，C，D中所给的对象都是确定的，从而可以组成集合；而A中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名，故不能组成集
合. 答案 A
规律方法 判断一组对象组成集合的依据及切入点
(1)依据：元素的确定性是判断的依据.判断一组对象能否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判断整体中的每个对象是否确定，如果考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合.(2)切入
点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性.
【训练1】 判断下列对象能否组成集合：
(1)数学必修1课本中所有的难题；
(2)本班16岁以下的同学；
(3)方程x2－4＝0在实数范围内的解；
(4)2的近似值的全体.
解 (1)中难题的标准不确定，不能组成集合.
(2)本班16岁以下的同学是确定的，明确的，能组成集合.
(3)方程x2－4＝0在实数范围内的解有两个，即±2，故能组成一个集合.
(4)“2的近似值”不明确精确到哪一位，因此很难判定一个数(比如2)是不是它的近似值，故不能组成一
个集合.
类型二 元素与集合的关系
【例2】(1)(2016·泰安高一检测)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②3?Q；③0∈N*；④|－4|?N*.
D.4
C.3
B.2
A.1
(2)(2016·连云港高一检测)集中A中的元素x满足
6∈N，x∈N，则集合A中的元素为________.3－x 解析 (1)由R(实数集)、Q(有理数集)、N*(正整数集)的含义知，①②④正确，③不正确. (2)由
6∈N，则6是3－x的正整数倍，所以3－x＝1，2，3，6.又x∈N，∴x＝0，1，2.3－x 答案 (1)C (2)0，1，2
规律方法 (1)判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“∈”与“?”只表示元素与集合的关
系.
(2)判断元素与集合关系主要有两种方法：①直接法(当集合中元素直接给出时)，②推理法，对一些没有直
接给出元素的集合，常用推理法判断元素是否具有集合中元素所具有的特征.
【训练2】 设不等式2x－3>0的解集为M，下列表示正确的是( )
B.0?M，2∈M D.0?M，2?M
A.0∈M，2∈M C.0∈M，2?M
解析 因为2×0－3＝－3<0，所以0不是M的元素，0?M.又2×2－3＝1>0.所以2是不等式2x－3>0的解集
中元素，2∈M.
答案 B
类型三 集合中元素的特性及应用(互动探究)
【例3】已知集合A中含有两个元素a＋1，a2－1，且0∈A，则实数a的值为________.
[思路探究]
探究点一 a＋1，a2－1是A中的两个元素，揭示二者满足什么关系？
提示 根据集合元素的互异性，a＋1≠a2－1.
探究点二 0∈A，与A中的两元素a＋1，a2－1间有什么关系？ 提示 根据元素与集合间的从属关系，应有a＋1＝0或a2－1＝0.
解 因为0∈A，所以0＝a＋1或0＝a2－1.
当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意.
当a2－1＝0时，a＝±1，a＝－1(舍)，所以a＝1.此时，A＝{2，0}，符合题意.
答案 1
规律方法 (1)由于A中含有两个元素，0∈A，本题以0是否等于a＋1为标准分类，从而做到不重不漏.
(2)对于集合中元素含有参数的问题，要根据集合中元素的确定性，解出参数的所有可能值或范围，再根据
集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.
【迁移探究1】(变换条件) 本例若将集合A中元素“a＋1”“a－1”改为“a－3和2a－1”，“0∈A”改
2
为“－3∈A”，则实数a的取值是什么？ 解 ∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意.
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
【迁移探究2】(变换条件) 本例中，若去掉条件“0∈A”，其他条件不变，试求实数a的取值.
解 由集合元素的互异性，a＋1≠a2－1， 所以a2－a－2≠0，即(a－2)(a＋1)≠0，
因此a≠2且a≠－1.
[课堂小结]
1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定.若元素不确定，则不能构成集合.集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a?A，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合
的依据.
2.对符号∈和?的两点说明
(1)符号∈和?刻画的是元素与集合之间的关系，不可表示元素与元素，集合与集合之间的关系.
(2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合.
3.集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.
1.下列各选项中的对象可组成一个集合的是( )
A.一切很大的数
B.我校高一学生中的女生
C.中国漂亮的工艺品 D.美国NBA的篮球明星
解析 A、C、D中对象不具有确定性，不能构成集合.
答案 B
2.若以方程x2－2x－3＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( )
D.4
C.3
B.2
A.1
解析 因为方程x2－2x－3＝0的解是x1＝－1，x2＝3，方程x2－x－2＝0的解是x3＝－1，x4＝2.
所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1，2，3，共有3个元素.
答案 C
3.已知集合A中只含有一个元素1，若|b|∈A，则b＝________.
解析 由题意可知|b|＝1，∴b＝±1.
答案 ±1
4.已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，求实数a的值.
解 ∵M中有两个元素，3和a＋1，且4∈M，
∴4＝a＋1，解得a＝3.
即实数a的值为3.
基 础 过 关
1.下列各对象可以组成集合的是( )
A.中国著名的科学家
B.感动中国2016十大人物
C.高速公路上接近限速速度行驶的车辆
D.中国最美的乡村
解析 看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A，C，D选项没有一个明确的判定标
准，只有B选项判断标准明确，可以构成集合.
答案 B
2.由x2，2|x|组成一个集合A中含有两个元素，则实数x的取值可以是( ) D.2
C.8
B.－2
A.0
解析 根据集合中元素的互异性，验证可知x的取值可以是8.
答案 C
3.下列正确的命题的个数有( )
①1∈N；②2∈N*；③∈Q；④2＋2?R；⑤?Z.
D.4
C.3
B.2
A.1
1242 解析 ∵1是自然数，∴1∈N，故①正确； ∵2不是正整数，∴2?N*，故②不正确；
∵是有理数，∴∈Q，故③正确；
∵2＋2是实数，∴2＋2∈R，所以④不正确；
∵＝2是整数，∴∈Z，故⑤不正确.
答案 B
4.方程x2－3x－4＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________.
解析 方程x2－3x－3＝0的两根分别是－1和4，
由题意可知，a＋b＝3.
答案 3
5.(2016·成都高一检测)已知集合P中元素x满足：x∈N，且2 解析 因为x∈N，且2 答案 6 6.设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. (1)求实数x应满足的条件； (2)若－2∈A，求实数x. 解 (1)由集合中元素的互异性可得 x≠3且x2－2x≠x，x2－2x≠3， 解得x≠－1且x≠0且x≠3. (2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2. 由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， 则x2－2x≠－2， 所以x＝－2.
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