高考数学复习点拨 三角函数图象和性质中的思维体操

三角函数图象和性质中的思维体操

三角函数的图象和性质是一块研究比较透彻的基础知识.但是这里也可以挖掘出各类值得同学们深入思考、具有综合色彩的解题方式，同学们应该从培养自己的能力出发来掌握好这里的知识和必要的技能技巧.

1.看下面的题目：如右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象的一部分，那么f(x)可以写成

(A)sin(1+x)

(B)sin(-1-x) (C)sin(x-1) (D)sin(1-x)

分析与解答：在三角函数图象中，给出函数关系，描点作图是问题的一个方面，而给出图象，求函数的表达式则是另一个方面，也必须认真地解决.

由图象提示，与x轴的一个交点是（1，0），即f（1）=0,所以可以排除（A）、（B）；正确答案只可能是（C）或（D）；又由图象提示，与y轴的交点在原点上方，即f(0)>0，所以排除（C），故正确答案是（D）.

其实此时，给出曲线的“头”M和“尾”N的坐标也是可以确定的，由于T=2π，所以点M和坐标是（1-π，0），点N的坐标是（1+π，0）；同学们可以想一想，点P、Q的坐标又分别是什么？

2.再看下面的题目：设O°<θ<45°，则cos2θ,sin2θ,ctg2θ的大小顺序是 （ ）

（A）cos2θ

分析与解答：按照已知条件，要解决此题,比较理想的方法应该是特殊值法,令θ=30°,则cos2θ=

31，sin2θ=,ctg2θ=3，不失一般性，有 44sin2θ

题目的条件还可以更改为90°<θ<135°或180°<θ<225°等，都可以比较三者的大小关系，还是可用特殊值法来进行比较；如果题目的结论作些更改，要比较sinθ,cosθ与ctgθ的大小，则还有一个三角函数的符号问题需要考虑.

3.再看下面的题目:在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间（0，又是以π为周期的偶函数.

(A)y=x2(x∈R) (B)y=|sinx| (x∈R) (C)y=cos2x(x∈R) (D)y=esin2x (x∈R)

分析与解答：在四个函数中要用两个条件选出符合条件的函数，这里用排除法比较理想.首先要以π为周期的周期函数，排除（A），其余三个函数都是以π为周期的函数；又要求偶

sin2x

函数，排除（D），因为y=e 既不是奇函数，又不是偶函数；（B）、（C）两个函数中,要在（0，

? ）上的增函数，2? ）上是增函数的只有y=|sinx| ,故应选（B）. 2 4.再看下面的题目: 函数f(x)?sinx?2|sinx|,x??0,2??的图象与直线y?k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是__________。

分析与解答:本题考查三角函数的简单性质和三角函数图像的基础知识.三角函数图像题是高考考查三角函数性质题型的另一个热点.从“函数f(x)?sinx?2|sinx|,x??0,2??的图象”,我们可以看出要画函数f(x)?sinx?2|sinx|,x??0,2??的图像,其中涉及到绝对值问题,也就是说要先去绝对值方可去讨论函数图象.但就是这么一个去绝对值问题往往就有许多同学不知如何下手.

?3sinx,x?[0,?]，结合图像可得1

1?sinx?cosx分析与解答:要注意“恒等变形”常常不是等价变换，所以处理有关函数问题时，对函数式的化简要慎重对侍，如题3，如果作如下化简：

xxxxxx?2sincos2sin(sin?cos)1?sinx?cosx222?222?tanx由函数 ?xxxxxx1?sinx?cosx22cos2?2sincos2cos(sin?cos)2222222sin2y=tanx/2是奇函数得出原函数也是奇函数的结论就是错误的，事实上最后的约分步骤是一个非等价变形，因为sinx/2+cosx/2有可能为零，它是导致错误的根本原因.

正确的解答应该是:首先求函数f(x)的定义域，由于有1+sinx+cosx≠0， ∴2sin(x?且x??4)??1,sin(x??4)??2??， 于是x??2k?? 244?4?(2k?1)???4,k∈Z所以这个函数的定义域是:

????xx?R,x?2k??且x?(2k?1)?,k?Z?在数轴上,这个定义域关于原点不对称,所

2??以它既不是奇函数,也不是偶函数.

三角函数奇偶性的判断同其它函数一样,首先要求函数的定义域,观察其是否关于原点

对称.若定义域不关于原点对称就可直接否定函数具有奇偶性.

三角函数图象性质中的题目可以有较强的综合性和灵活性，同学们学习这部份必须注意奠定坚实的基础和培养高度的灵活性，是一定能够学好的. 练一练:

1.函数y=cos(x-?)与下列函数的图象在[ A．y=cos(－x－

?3?,]上相同的是 （ ） 227? ) B.y=cos(－x－4?) 21?sin4xC.y=1?tanxcoxx D.y= 21?sinx22

2. 函数y=－x·cosx的部分图象是( )

3.为使函数y=sin?x(?>0)在区间［０，１］上至少出现５０个最大值，则?的最小值是 （ ）

A.９８? B.98.5? C.99.5? D.100? 4.下列两个函数：(1)y=cosx,(2)y=tanx其周期性是 （ ）

A.只有（１）是周期函数 B. 只有（２）是周期函数 C.（１）（２）都是是周期函数 D.（１）（２）都不是是周期函数 5.函数y=5+sin22x的最小正周期是 （ ） A.２? B. ? C.

?? D. 246．函数f(x)=sinxcos2?－cosxsin2?的图象关于轴对称，则?=________. 7.若函数f(x)=2tan(kx+

?)的最小正周期T满足１〈T〈２，则正整数k的值是_______. 38.设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论α、β为何实数恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0.

(1)求证：b+c=－1； (2)求证c≥3；

(3)若函数f(sinα)的最大值为8，求b，c的值.

参考答案:

1.D 2.D 3.B 4.A 5.C 6.k??? 7.2,3 4 8. 解：(1)∵－1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立，∴f(1)≥0 ∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立.∴f(1)≤0. 从而知f(1)=0∴b+c+1=0.

(2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因为b+c=－1,∴c≥3. (3)∵f(sinα)=sin2α+(－1－c)sinα+c=(sinα－

1?c21?c2

)), )+c－((22?1?b?c?8当sinα=－1时，［f(sinα)］max=8,由?解得b=－4,c=3.

1?b?c?0?