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第24届全国物理竞赛复赛试题及答案

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由理想气体状态方程,则有 因

由(8)~(15)式可得

?Va???aRTa? pa?Vb???bRTb? pb(13) (14)

Va??Vb??V0

(15)

1Va??Vb??V0

2Ta??Tb??2T

RCV(16) (17)

在推动活塞压缩气体这一绝热过程中,隔板对a室气体作的功W等于a室中气体内能的增加,即

由(6)、(17)和(18)式得

四、参考解答:

设某一时刻线框在磁场区域的深度为x?x?l1?,速度为v,因线框的一条边切割磁感应线产生的感应电动势为

y R?CV?CVW??2?1?p0V0

?2R???1W???CV?Ta??T?

2(18)

(19)

l1v0Ev?vBl2,它在线框中引起感应电流,感应电流的变化又

引起自感电动势.设线框的电动势和电流的正方向均为顺时针方向,则切割磁感应线产生的电动势Ev与设定的正方向相反,自感电动势EL??Ll2x O x ?i与设定的正方向相同.因线?t

框处于超导状态,电阻R?0,故有

即 或

EL?Ev??L?i?vBl2?iR?0 ?t(1)

L?i?x?Bl2?0 ?t?tBl2?x??L?i

(2)

(3)

.

可见i与x成线性关系,有

Bl?i??2 ?xLi??(4)

Bl2 (5) x?C

LC为一待定常数,注意到x?0时,i?0,可得C?0,故有

Bl (6) i??2x

Lx?0时i?0,电流为负值表示线框中电流的方向与设定的正方向相反,即在线框进入磁场区域时右侧边

的电流实际流向是向上的.外磁场作用于线框的安培力

2B2l2f?Bl2i??x

L(7)

其大小与线框位移x成正比,方向与位移x相反,具有“弹性力”的性质.下面分两种情形做进一步分析:

(i)线框的初速度v0较小,在安培力的作用下,当它的速度减为0时,整个线框未全部进入磁场区,这时在安培力的继续作用下,线框将反向运动,最后退出磁场区.线框一进一出的运动是一个简谐振动的半个周期内的运动,振动的圆频率

周期

??B2l22 Lm(8)

T?2πLm 2B2l2(9)

振动的振幅可由能量关系求得,令xm表示线框速度减为0时进入磁场区的深度,这时线框的初始动能全部转换为“弹性力”的“弹性势能”,由能量守恒可得

故其运动方程为

2Lmv0 xm?2B2l22?211?B2l22mv0???xm 22?L?(10)

(11)

x?v0LmLm?Bl2?sin?t?, t从0到π Bl2Bl?Lm?2(12)

半个周期后,线框退出磁场区,将以速度v0向左匀速运动.因为在这种情况下xm的最大值是l1,即

2121B2l2mv0?l12 22L(13)

由此可知,发生第(i)种情况时,v0的值要满足下式

.

2?2121?B2l2mv0???l1 22?L?

mL (ii) 若线框的初速度v0比较大,整个线框能全部进入磁场区.当线框刚进入磁场区时,其速度仍大

v0?Bl1l2 (14)

于0,这要求v0满足下式

v0?Bl2l1mL (15)

当线框的初速度满足(15)式时,线框能全部进入磁场区,在全部进入磁场区域以前,线框的运动方程与(12)式相同,但位移区间是x?0到x?l1,所以时间间隔与(12)式不同,而是从0到

Bl1l2?Lm??arcsin? t1?2Bl2?Lmv0???(16)

因为线框的总电动势总是为0,所以一旦线框全部进入磁场区域,线框的两条边都切割磁感应线,所产生的电动势之和为 0,因而自感电动势也为0.此后线框中维持有最大的电流im??Bl2l1,磁场对线框L两条边的安培力的合力等于零,线框将在磁场区域匀速前进,运动的速度可由下式决定

五、参考解答:

解法一:

1.由于等离子层的厚度远小于地球的半径,故在所考察的等离子区域内的引力场和磁场都可视为匀强场.在该区域内磁场的磁感应强度

2B2l12l2v?v? Lm20212121B2l2mv0?mv?l12 222L(17)

3.0?10?R?T?2.4?10-7T B??0?B0?125?r?引力加速度

3?5(1)

9.8?R?g??0?g0?m/s2?0.39m/s225?r?

(2)

考察等离子层中的某一质量为m、电荷量为q、初速度

z 2为u的粒子,取粒子所在处为坐标原点O,作一直角坐标系Oxyz,Ox轴指向地球中心,Oz沿磁场方向,如图1所示.该粒子的初速度在坐标系中的三个分量分别为ux、uy和uz.

.

uz v0 ux x

图1 O uy v0 uy?v0 v y

因作用于粒子的引力沿x轴正方向,作用于粒子的洛伦兹力与z轴垂直,故粒子在z轴方向不受力作用,沿z轴的分速度保持不变. 现设想在开始时刻,附加给粒子一沿y轴正方向大小为v0的速度,同时附加给粒子一沿y轴负方向大小为v0的速度,要求与其中一个v0相联系的洛伦兹力正好与粒子所受的地球引力相平衡,即 得

qv0B?mg

v0?mg qB(3)

用v表示ux与沿y轴的速度uy?v0的合速度(对质子取正号,对电子取负号),有

2?uy?v0 v?ux??2 (4)

这样,所考察的粒子的速度可分为三部分:

沿z轴的分速度uz.其大小和方向都保持不变,但对不同的粒子是不同的,属于等离子层中粒子的无规则运动的速度分量.

沿y轴的速度v0.对带正电的粒子,速度的方向沿y轴的负方向,对带负电的粒子,速度的方向沿y轴的正方向.与这速度联系的洛伦兹力正好和引力抵消,故粒子将以速率v0沿y轴运动.由(3)式可知,

v0的大小是恒定的,与粒子的初速度无关,且对同种的粒子相同.

在Oxy平面内的速度v.与这速度联系的洛伦兹力使粒子在Oxy平面内作速率为v的匀速率圆周运动,若以R表示圆周的半径,则有

v2qvB?m

Rmv qBR?(5)

由(4)、(5)式可知,轨道半径不仅与粒子的质量有关,而且与粒子的初速度的x分量ux和y分量uy有关.圆周运动的速度方向是随时间变化的,在圆周运动的一个周期内的平均速度等于0.

由此可见,等离子层内电子和质子的运动虽然相当复杂,但每个粒子都具有由(3)式给出的速度v0,其方向垂直于粒子所在处的地球引力方向,对电子,方向向西,对质子,方向向东.电子、质子这种运动称为漂移运动,对应的速度称为漂移速度.漂移运动是粒子的定向运动,电子、质子的定向运动就形成了环绕地球中心的环形电流.

由(3)式和(1)、(2)两式以及有关数据可得电子和质子的漂移速度分别为

v0e?9.2?10?6m/s

(6)

v0p?1.7?10?2m/s (7)

由于电子、质子漂移速度的方向相反,电荷异号,它们产生的电流方向相同,均为沿纬度向东.根据电流密度的定义有

代入有关数据得

.

j?nq?v0p?v0e?

(8)

电流密度的方向沿纬度向东.

j?2.8?10?14A/m2

(9)

2.上一小题的讨论表明,粒子在Oxy平面内作圆周运动,运动的速率由(4)式给出,它与粒子的初速度有关.对初速度方向指向地心的粒子,圆周运动的速率为

22 v?ux?v0(10)

由(1)、(2)、(3)、(5)、(10)各式并代入题给的有关数据可得电子、质子的轨道半径分别为

Re?0.33m Rp?14.8m

(11) (12)

以上的计算表明,虽然粒子具有沿引力方向的初速度,但由于粒子还受到磁场的作用,电子和质子在地球半径方向的最大下降距离分别为2Re?0.66m和2Rp?29.6m,都远小于等离子层的厚度,所考察的电子和质子仍在等离子层内运动,不会落到地面上.

解法二:.

1.由于等离子层的厚度远小于地球半径,故在所考察等离子区域内的引力场和磁场都可视为匀强场.在该区域内磁场的磁感应强度

引力加速度

3.0?10?R?B??0?B0?T?2.4?10??T (1)

125?r?3?59.8?R?g??0?g0?m/s2?0.39m/s2

25?r?z vz

O vx

2(2)

考察等离子层中的某一质量为m,电荷量为q、初速度为u的粒子,取粒子所在处为坐标原点O,作一直角坐标系Oxyz,Ox轴指向地球中心,Oz沿磁场方向,如图1所示.该粒子的初速度在坐标系中的三个分量分别为ux、uy和uz. 若以vx、vy、y方向和z方向的vz表示粒子在任意时刻t的速度v在x方向、

分速度,则带电粒子在引力和洛伦兹力的共同作用下的运动方程为

x

vy

y

图1

m?dvxmg??mg?qvyB?qB?vy??dtqB??

(3)

mdvydt??qvxB

(4)

mdvz?0 dt(5)

(5)式表明,所考察粒子的速度在z轴上的分量保持不变,即

.

第24届全国物理竞赛复赛试题及答案

由理想气体状态方程,则有因由(8)~(15)式可得?Va???aRTa?pa?Vb???bRTb?pb(13)(14)Va??Vb??V0(15)1Va??Vb??V02Ta??Tb??2TRCV(16)(17)
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