“时代杯” 2008年江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题
（初中组）（答案）
（2009 年 2 月 28 日下午 14 : 00~16 : 00） 题号 得分 注
'一一 1 — 6 -二二 7 —10 三 11 12 13 14 15 总分 意事项：
1. 本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟. 2. 用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上. 3. 答卷前将密封线内的项目填写清楚.
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的.每题 1. 计算 1— 2 + 于一4 + 5- 6+…+ 99- 100 的值是（ B ）.
A . 5050 2.
B . - 5050
C . 100
D.- 100
2
2
2
2
2
2
2
6分，共36分）
“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：龟兔同时出发，沿直线向同一目标奔跑，领先的兔子
看着缓慢爬行的乌龟， 骄傲起来，停下来睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了， 于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，……
?用s2分别表示乌龟和兔
D ）.
子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（
3. 同时抛掷两枚均匀的骰子 2+6 3+5 4+4 5+3 6+2 1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1 1+5 2+4 3+3 4+2 5+1 1+4 2+3 3+2 4+1 1+3 2+2 3+1 1+2 2+1 1+1
26/36=13/18 1-13/18=5/18
1次，两枚骰子面朝上的点数之和大于 8的概率是（C ）.
j4
11
则x+ y的值为（D ）.
D . 49
B. 46
4.观察表一，寻找规律.表二、表三分别是从表一中选取的一部分,
A . 45 0 1 2 3 C. 48
1 3 5 7 2 5 8 11 3 7 15 19
15
23
11 117
15 L
23+26=49
表二 表三
24个边长为2的正三角形组
5.如图，△ DEF的边长分别为1, .3, 2，正六边形网格是由
成，以这些正三角形的顶点为顶点画△ ABC，使得△ ABC
DEF .如果相似比
AB
=k，那么k的不同的值共有 DE
B. 2个
C . 3个
D. 4个
D E
【解析】以直角三角形的最短直角边为分类依据，最短边依次可以 是：1,、、3,2 ?所以有3个.
6 .将B
C沿弦BC折叠交直径
A . 3.7
AB于点D,若AD = 4, DB = 5,贝U BC的长是(
C. , 65
D. 2 .15
).
B 8
A
【解析】方法一：如图连接CD ,作高CE ,易证CA=CD由三线合一可以知道
1
AE二DE 4=2，则BE =2 ? 5= 7,在RT AB中 ,由射影定理可得：
2 CE2 =2 7 =14，再在Rt BCE中使用勾股定理：
BC /CE2—BE2 卡4 49 =3 7
方法二：如图，由翻折联想到对称，取点
代D关于BC的对称点 A ,D，可以知道
BD‘ = BD =5, AD'= AD = 4，在 Rt ABD '中使用勾股定理：
AD = AB2-BD 2
56 .
又在Rt AA'D冲使用勾股定理：
AA 二■ AD'2 A'D'^ .72 .
所以：AC =3、一 2
最后在Rt ABC中使用勾股定理： BC二.81-18 = 72二3. 7 .
二、填空题(每题 6分，共24分)
7. 若不等式组 ______________________________________________ >，的解集是一
2009
1 v XV 1,则(a + b)的值是 _________________________________________________ .
b— 2x> 0
2
a
【解析】-1 8.
如图，在一条笔直的公路上有三个小镇 A、B、C,甲车
从A出发匀速开往C,乙车从B
出发匀速开往 A.若两车同时出发，当甲车到达 B时，乙车离A还有40km ;当乙车到 达A时，甲车正好到达 C.已知BC= 50km，贝U A、B两镇相距 ______________ km.
x v甲 x—40 v乙
【解析】由题意得：丿
可以得到：x=200
x+50 v 甲 x v乙
9. 已知p, q都是正整数，方程7x - px+ 2009q= 0的两个根都是质数，贝V p+ q = 【解析】337.
2
2009
设方程的两个根为 x1,x2(x1 : x2).由韦达定理可知：
x1x2 q = 7 41 q .
Xi,X2 为质数，二 Xi =7,X2 =41. p = 41 7
7 =336,q =1 .
10. 长方形 ABCD中，AB= 1 , AD = . 3,以点B为圆心，BA长为半径作圆交 BC于点E . 在A
点
交BC于点T,
E上找一
【解析】
3
三、解答题(每题 11. 已知二次函数
2
18分，共90分)
2
2
函数y= x + 2cx+ a的图象与x轴是否相交？为什么? y= x2 + 2ax+ b2和y= x2 + 2bx+ c的图象与x轴都有两个不同的交点，问
【解析】不相交.
由题设，得 a-b>0, b-c>0. 贝U a> b>c,所以 c-av 0.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
........... 3分 ........... 9分 ........... 15 分 ........... 18分
，盛有深为acm
从而知函数y= x+ 2cx+ a的图象与x轴不相交.
12. 一个长40cm、宽25cm、高50cm的无盖长方体容器(厚度忽略不计)
(a< 50)的水.现在容器里放入棱长为 面上)后，水深是多少 ？
水箱体积 V 水箱=1000 X 50= 50000 (cm),
3
22
10cm的立方体铁块(铁块的底面落在容器的底
2
【解析】由题设，知水箱底面积 S= 40X 25= 1000( cm). 铁块体积 V 铁=10X 10X 10= 1000 (cm) .
3
......... 3 分
若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 50cm时，
(1)
1000a+ 1000 = 50000,得 a= 49 (cm).
所以，当49W a< 50时，水深为50cm (多余的水溢出). (2)
.......... 6分
若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 10cm时， aX 40X 25+10X 10X 10 40 X 25
所以，当9< av 49时，水深为
=(a+1)cm.. 12分
1000a+ 1000 = 10000,得 a= 9 ( cm) .
(3) 由(2)知，当0 v av 9时，设水深为x cm，则
1000x= 1000a+ 100x .得 x= fa ( cm).
.......... 9 分
17分
答：当0v av 9时，水深为 —a cm ;当9< av 49时，水深为(a+1) cm;当49< a< 50时，
水深为50 cm.
18分
13. 设a, b, c是整数，使得 ：￥是一个有理数.
b寸 2 + c
2+ b2+ 2 a
求证：--------- 是一个整数.
a+ b+ c
+ b【解析】证法一：令 啤乜=k, k为有理数，得
bp2+ c
(a— kb) 3+(b — kc) = 0. 因为a, b, c是整数，k为有理数，
所以 a— kb= 0, b — kc =0，从而 a=kc, b=kc . a + b + c k + k + 1 于’^是 = 2
2
a + b+ c k + k + 1
4
2
4
2
2
2
2
…3分 …6分 .... 9分 …15分
- c.
2
又 k+k+1= (k+k+1)-k = (k+k+1) (k- k+1),
2+ b2+ 2 a22
贝V -- — = (k— k+ 1)c= kc— kc+ c = a+ c — b.
a+ b+ c
2 - b2 i c2 证法二：门越
=
?18分
2b—c
(2ab— bc) + ( b?- ac) ^2
2 2
2b — c
因为a+c — b为整数，所以 -------- 为整数.
a + b + c
a
?? 6分 ...9 分 .???12 分
a .'2+ b (a .、2+ b) (b .、2— c)
因为*la+ b是有理数，所以b— ac= 0，即b= ac. bp2 + c
(a+ b+ c) — 2 (ab+ bc + ca) =
a+ b+ c
2
2
22
2 2 2 2
a + b + c 所以
a + b+ c
…15分
(a+ b+ c) — 2 (ab+ bc+ b)
a+ b + c
=a+ c— b.
2+ b2+ c2
18分
因为
a
+ c- b
为整数，所以詁二为整数.
14. 设n为自然数，在△ ABC内给定n个点.用一些除端点外没有公共点的线段连结这些 点
及A、B、。，将厶ABC分成t个小的三角形. (1) 用含n的代数式表示t;
(2) 证明t为定值，与线段的连法无关. 【解析】(1) t =2n+1 . 分
........ 6
2008年时代杯数学竞赛(答案)
