第四节 二次函数与幂函数 1.二次函数
掌握二次函数的图象与性质,会求二次函数的最值(值域)、单
调区间.
2.幂函数
(1)了解幂函数的概念.
11
(2)结合函数y=x,y=x,y=x,y=x,y=x2的图象,了解它
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们的变化情况.
知识点一 五种常见幂函数的图象与性质 五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性质 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 R R 奇 增 y=x y=x 2y=x 3y=x 12y=x-1 R R R 奇 增 {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 增 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (-∞,0)和(0,+{y|y≥0} 偶 (-∞,0]减,(0,+∞)增 公共点
(1,1) ∞)减 易误提醒 形如y=x(α∈R)才是幂函数,如y=3x不是幂函
α
12数.
[自测练习]
?12?
1.已知幂函数f(x)=k·x的图象过点?,?,则k+α=( )
2??2
α
13
A.2 B.1 C.2 D.2
解析:因为函数f(x)=k·xα是幂函数,所以k=1,又函数f(x)的
?1?1?α2132?
????图象过点,,所以2=2,解得α=2,则k+α=2.
2????2
答案:C
知识点二 二次函数
1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 2.二次函数的图象和性质 图象 定义域 x∈R a>0 a<0 值域 ?4ac-b2??,+∞? 4a???4ac-b2??-∞,? 4a??单调性 b??在?-∞,-2a?上递减,在???b??-,+∞?上递增 ?2a?b??在?-∞,-2a?上递增,在???b??-,+∞?上递减 ?2a?奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 b①对称轴:x=-2a; ?b4ac-b2?? ②顶点:?-,4a??2a图象特点
易误提醒 研究函数f(x)=ax2+bx+c的性质,易忽视a的取值情况而盲目认为f(x)为二次函数.
必备方法
1.函数y=f(x)对称轴的判断方法
(1)对于二次函数y=f(x),如果定义域内有不同两点x1,x2且f(x1)x1+x2
=f(x2),那么函数y=f(x)的图象关于x=2对称.
(2)二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(a为常数).
2.与二次函数有关的不等式恒成立两个条件
??a>0,2
(1)ax+bx+c>0,a≠0恒成立的充要条件是?2
??b-4ac<0.
??a<0,
(2)ax+bx+c<0,a≠0恒成立的充要条件是?2
??b-4ac<0.
2
[自测练习]
2.已知二次函数的图象如图所示,那么此函数的解析式可能是( )
A.y=-x2+2x+1 B.y=-x2-2x-1 C.y=-x2-2x+1 D.y=x2+2x+1
解析:设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题图得:a<0,b<0,c>0.选C.
答案:C
3.若二次函数f(x)=ax2-4x+c的值域为[0,+∞),则a,c满足的条件是________.
a>0,??
解析:由已知得?4ac-16
??4a=0,答案:a>0,ac=4
4.已知f(x)=4x2-mx+5在[2,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是________.
?m?
解:因为函数f(x)=4x2-mx+5的单调递增区间为?8,+∞?,
??
?a>0,
??
?ac-4=0.
m
所以8≤2,即m≤16.
答案:(-∞,16]
考点一 幂函数的图象与性质|
1.(2015·济南二模)若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)=3f(2),则
?1?
f?2?的值为( ) ??
1A.3 2C.3
1B.2 4D.3
解析:设f(x)=xa,又f(4)=3f(2),∴4a=3×2a,解得a=log23,
?1??1?1∴f?2?=?2?log23=3. ????
答案:A
2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是
A.d>c>b>a B.a>b>c>d C.d>c>a>b D.a>b>d>c
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解析:幂函数a=2,b=2,c=-3,d=-1的图象,正好和题目所给的形式相符合,在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以a>b>c>d.故选B.
答案:B
( )
2018年高考理科数学第一轮复习教案6 二次函数与幂函数
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