第四节 二次函数与幂函数 1．二次函数
掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单
调区间．
2．幂函数
(1)了解幂函数的概念．
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(2)结合函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x，y＝x2的图象，了解它
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们的变化情况．
知识点一 五种常见幂函数的图象与性质 五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性质 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 R R 奇 增 y＝x y＝x 2y＝x 3y＝x 12y＝x－1 R R R 奇 增 {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 增 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (－∞，0)和(0，＋{y|y≥0} 偶 (－∞，0]减，(0，＋∞)增 公共点
(1,1) ∞)减 易误提醒 形如y＝x(α∈R)才是幂函数，如y＝3x不是幂函
α
12数．
[自测练习]
?12?
1．已知幂函数f(x)＝k·x的图象过点?，?，则k＋α＝( )
2??2
α
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A.2 B．1 C.2 D．2
解析：因为函数f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的
?1?1?α2132?
????图象过点，，所以2＝2，解得α＝2，则k＋α＝2.
2????2
答案：C
知识点二 二次函数
1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．二次函数的图象和性质 图象 定义域 x∈R a>0 a<0 值域 ?4ac－b2??，＋∞? 4a???4ac－b2??－∞，? 4a??单调性 b??在?－∞，－2a?上递减，在???b??－，＋∞?上递增 ?2a?b??在?－∞，－2a?上递增，在???b??－，＋∞?上递减 ?2a?奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 b①对称轴：x＝－2a； ?b4ac－b2?? ②顶点：?－，4a??2a图象特点
易误提醒 研究函数f(x)＝ax2＋bx＋c的性质，易忽视a的取值情况而盲目认为f(x)为二次函数．
必备方法
1．函数y＝f(x)对称轴的判断方法
(1)对于二次函数y＝f(x)，如果定义域内有不同两点x1，x2且f(x1)x1＋x2
＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝2对称．
(2)二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．
2．与二次函数有关的不等式恒成立两个条件
??a>0，2
(1)ax＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是?2
??b－4ac<0.
??a<0，
(2)ax＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是?2
??b－4ac<0.
2
[自测练习]
2.已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式可能是( )
A．y＝－x2＋2x＋1 B．y＝－x2－2x－1 C．y＝－x2－2x＋1 D．y＝x2＋2x＋1
解析：设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题图得：a<0，b<0，c>0.选C.
答案：C
3．若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________．
a>0，??
解析：由已知得?4ac－16
??4a＝0，答案：a>0，ac＝4
4．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．
?m?
解：因为函数f(x)＝4x2－mx＋5的单调递增区间为?8，＋∞?，
??
?a>0，
??
?ac－4＝0.
m
所以8≤2，即m≤16.
答案：(－∞，16]
考点一 幂函数的图象与性质|
1．(2015·济南二模)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则
?1?
f?2?的值为( ) ??
1A.3 2C.3
1B.2 4D.3
解析：设f(x)＝xa，又f(4)＝3f(2)，∴4a＝3×2a，解得a＝log23，
?1??1?1∴f?2?＝?2?log23＝3. ????
答案：A
2.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是
A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c
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解析：幂函数a＝2，b＝2，c＝－3，d＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.
答案：B
( )
2018年高考理科数学第一轮复习教案6 二次函数与幂函数
