神笛2005
一．基础题组
1. 【2005江苏，理14】曲线y?x?x?1在点（1,3）处的切线方程是 . 【答案】4x-y-1=0.
3
2. 【2006江苏，理15】对正整数n，设曲线y?xn(1?x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{n+1
an}的前n项和的公式是 . n?1【答案】2-2． 【解析】y??nxn
n?1?(n?1)xn，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n
n
n
切点为（2，-2）,所以切线方程为y+2=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2,令bn=
an?2n.数列n?1?an?23nn+1??的前n项和为2+2+2+…+2=2-2. ?n?1?3. 【2007江苏，理9】已知二次函数f（x）=ax+bx+c的导数为f′（x），f′（0）>0，对于任意实数x，有f（x）≥0，则
2
f(1)的最小值为 f?(0)
C.2
D.
A.3 【答案】C.
B.
5 23 2【解析】∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0， ∴a＞0且b-4ac≤0，∴b≤4ac，∴c＞0；
2
2
当a=c时取等号．故选C．
4. 【2007江苏，理13】已知函数f（x）=x－12x+8在区间一3，3］上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝__________.
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3
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【答案】32．
【解析】解：令f′（x）=3x2
-12=0，得x=-2或x=2， 列表得：
可知M=24，m=-8，∴M-m=32． 故答案为：32.
5. 【2008江苏，理8】设直线y?12x?b是曲线y?lnx(x?0)的一条切线，则实数b的值是___________. 【答案】ln2－1． 【解析】y'?1x ，令1x?12得x?2，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．
6. 【2009江苏，理3】函数f(x)＝x3
－15x2
－33x+6的单调减区间为_____________________. 【答案】(－1,11)．
【解析】f′(x)＝3x2
－30x－33＝3(x－11)(x+1), 当x＜－1或x＞11时,f′(x)＞,f(x)单调递增; 当－1＜x＜11时,f′(x)＜0,f(x)单调递减.
7. 【2009江苏，理9】在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y＝x3
－10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为___________________.
8. 【2014江苏，理11】在平面直角坐标系xoy中，若曲线y?ax2?bx（a,b为常数）过点P(2,?5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x?2y?3?0平行，则a?b? .
【答案】?3．
【解析】曲线y?ax2?bx过点P(2,?5)，则4a?b2??5①，又y'?2ax?bx2，所以神笛2005
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4a??a??1,b7所以a?b??3． ??②，由①②解得?42?b??2,9. 【2015江苏高考，17】（本小题满分14分）
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建
l2，山区边 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2 界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2 的距离分别为5千米和40千米，点N到l1， 所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y? （其中a，b为常数）模型.
a x2?b
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式f?t?，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度. 【答案】（1）a?1000,b?0;（2）①f(t)?9?10692?t,定义域为[5,20]，②4t4t?102,f(t)min?153千米
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解得??a?1000．
?b?01000?1000?（），则点的坐标为5?x?20??t,2?， 2x?t?（2）①由（1）知，y?设在点?处的切线l交x，y轴分别于?，?点，y???则l的方程为y?2000， x310002000?3t??3000??,0???x?t，由此得，?????0,2?． 232t?tt???223t??3000?324?106t?5,20?故f?t??????2??，??． t?42t?2??t?4?10616?106②设g?t??t?，则g??t??2t?．令g??t??0，解得t?102． 45tt2
二．能力题组
1. 【2008江苏，理17】如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记
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铺设管道的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设?BAO??（rad），将y表示成?的函数；
（ii）设OP?x（km），将y表示成x的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短.
【答案】（1）（i）y???20?10sin???10?0????（ii）
4?cos??y?x?2x2?20x?200?0?x?10?．（2）点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内
且距离AB 边103km处. 3
令y?0 得sin ??'?1?，因为0???，所以?=，
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备战2020高考十年高考数学分项版 专题03 导数(Word解析版)
