3．4 函数的应用(一) 最新课程标准：在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题. 知识点 几类常见函数模型 名称 解析式 一次函数模y＝kx＋b 型 反比例函数ky＝x＋b 模型 一般式：y＝ax2＋bx＋c 二次函数模b?24ac－b2?型 顶点式：y＝a?x＋2a?＋4a ??幂函数模型 y＝ax＋b n 条件 k≠0 k≠0 a≠0 a≠0，n≠1 状元随笔 建立函数模型解决实际问题的基本思路 [教材解难] 建立函数模型应把握的三个关口 (1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口． (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系． (3)数理关：在构建数学模型的过程中，利用已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题．
[基础自测]
1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副 B．400副 C．600副 D．800副
解析：利润z＝10x－y＝10x－(5x＋4 000)≥0. 解得x≥800. 答案：D
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.
答案：C
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元
解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(0≤x≤15且x∈N)，所以当x＝
10时，Smax＝45.6(万元)．
答案：B
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公
?
式为：y＝?2x＋10， ?10≤x<100，x∈N*?
??1.5x， ?x≥100，x∈N*?
*4x， ?1≤x<10，x∈N??
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数
为60，则该公司拟录用人数为________．
解析：令y＝60，
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意； 若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意； 若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意． 故拟录用人数为25人． 答案：25
题型一 一次、二次函数模型[经典例题]
例1 某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．
【解析】 设每个提价x元(x≥0，x∈N)，利润为y元． 每天销售总额为(10＋x)(100－10x)元， 进货总额＝8(100－10x)元， 显然100－10x>0，即x<10，
则y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x) ＝(2＋x)(100－10x)
＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)．
当x＝4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元．
答：当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润
为360元. 可根据实际问题建立二次函数模型解析式． 方法归纳 1．利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点： (1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法． (2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数． 2．二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题． 跟踪训练1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km，之后以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京2 h时火车行驶的路程． 11解析：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝5 (h)，所11以0≤t≤5. 因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为 11??s＝13＋120t?0≤t≤5?. ??111离开北京2 h时火车匀速行驶的时间为2－6＝6(h)，此时火车行11驶的路程s＝13＋120×6＝233(km)． 求出火车匀速行驶的总时间，可得定义域，再建立总路程关于时间的函数模型． 题型二 分段函数[教材P94例2] 例2 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图所示， (1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(单位：km)与时间t的函数解析式，并画出相应的图象．
【解析】 (1)阴影部分的面积为
50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.
阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km. (2)根据题图，有
50t＋2 004，0≤t<1，??80?t－1?＋2 054，1≤t<2，?
s＝?90?t－2?＋2 134，2≤t<3，?75?t－3?＋2 224，3≤t<4，??65?t－4?＋2 299，4≤t≤5.这个函数的图象如下图所示．
当时间t在[0,5]内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之相对应．根据题图，在时间段[0,1)，[1,2)，[2,3)，[3,4)，[4,5]内行驶的平均速率分别为50 km/h，80 km/h,90 km/h，75 km/h，65 km/h，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述．
教材反思
2019-2020学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册(课件+讲义+课时作业)3.4
