2．2.2 事件的相互独立性
[学习目标]
1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．
2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题． [知识链接]
1．3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”，事件A的发生是否会影响B发生的概率？ 答 因抽取是有放回的，所以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B相互独立． 2．互斥事件与相互独立事件有什么区别？
答 两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． [预习导引] 1．相互独立的概念
设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． 2．相互独立的性质
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如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立.
要点一 相互独立事件的判断
例1 从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老K”，B＝“抽得红牌”，判断事件
A与B是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
解 由于事件A为“抽得老K”，事件B为“抽得红牌”，故抽得红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到老K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不41
是对立事件，以下考虑它们是否互为独立事件：抽到老K的概率为P(A)＝＝，抽到红
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牌的概率P(B)＝＝，故P(A)P(B)＝×＝，事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”，
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亦即“抽得红桃老K或方块老K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)·P(B)＝P(AB)，因此A5226与B互为独立事件．
规律方法 对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，则称A，B互斥．一次
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试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，则称A，B对立，显然A∪A为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
跟踪演练1 判断下列各题中给出的各对事件是否是相互独立事件：
(1)甲盒中有6个白球，4个黑球，乙盒中有3个白球，5个黑球．事件A1表示“从甲盒中取出的是白球”，事件B1表示“从乙盒中取出的是白球”．
(2)盒中有4个白球，3个黑球，从盒中陆续取出两个球，用A2表示事件“第一次取出的是白球”，把取出的球放回盒中，用B2表示事件“第二次取出的是白球”．
(3)盒中有4个白球，3个黑球，从盒中陆续取出两个球，用A3表示“第一次取出的是白球”，取出的球不放回，用B3表示“第二次取出的是白球”．
解 (1)事件A1和B1是否发生，相互之间没有影响，因此事件A1与事件B1是相互独立事件． (2)在有放回的取球中，事件A2和B2是否发生，相互之间没有任何影响，因而它们是相互独立事件．
(3)在不放回的取球中，事件A3发生后，事件B3发生的概率发生了改变，因此A3与B3不是相互独立事件．
要点二 相互独立事件同时发生的概率
例2 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率．
解 设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，
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A与B，A与B，A与B为相互独立事件．
(1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件
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AB发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件AB发生)．根据题意，事件AB与AB互斥，根据
互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为
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P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)
＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.
(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为P－
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＝P(AB)＋[P(AB)＋P(AB)]＝0.72＋0.26＝0.98.
(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，
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故所求概率为P＝P(A B)＋P(AB)＋P(AB)
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＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
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规律方法 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A，B相互独立，则A与
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B，A与B，A与B也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．
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跟踪演练2 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和.求
34(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能破译的概率．
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解 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，则A，B相互独立，从而A与B，A与
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B，A与B均相互独立．
111(1)“两个都能破译”为事件AB，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝. 3412
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(2)“两人都不能破译”为事件A B，则
－－
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P(A B)＝P(A)·P(B)＝[1－P(A)]·[1－P(B)]
111＝(1－)×(1－)＝. 342
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(3)“恰有一人能破译”为事件(AB)∪(AB)，
3
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又AB与AB互斥，
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则P((AB)∪(AB))＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B) 11115＝×(1－)＋(1－)×＝. 343412
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(4)“至多一人能破译”为事件(AB)∪(AB)∪(A B)，且
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AB，AB，A B互斥，故
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P((AB)∪(AB)∪(A B))
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＝P(AB)＋P(AB)＋P(A B)
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＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＋P(A)·P(B) 11111111＝×(1－)＋(1－)×＋(1－)×(1－)＝. 34343412要点三 相互独立事件概率的综合应用
例3 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中 (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.
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(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A B C表示
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P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003 所以三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
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(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(ABC)∪(ABC)∪(ABC)表示．
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由于事件ABC，ABC和ABC两两互斥，
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根据概念加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)
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＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)
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＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)] ＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85) ＝0.329，
所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
规律方法 求复杂事件的概率，应先列出题中涉及的各事件，并用适当的符号表示，再理清各事件之间的关系，最后根据事件之间的关系选取相应的公式进行计算．
跟踪演练3 某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求： (1)两件产品都是正品的概率； (2)恰有一件是正品的概率； (3)至少有一件正品的概率．
解 用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D表示“抽得的两件产品中至
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少有一件正品”，则C＝(AB)∪(AB)，D＝C∪(AB)．
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(1)由题意知，A与B是相互独立事件P(B)＝1－P(B)＝1－0.05＝0.95，P(A)＝0.96， 所以两件都是正品的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.96×0.95
＝0.912.
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(2)由于事件AB与AB互斥，所以恰有一件是正品的概率为
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P(C)＝P[(AB)∪(AB)]
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＝P(AB)＋P(AB)
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＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)
＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086. (3)由于事件AB与C互斥， 所以P(D)＝P(AB)∪(C) ＝P(AB)＋P(C)
＝0.912＋0.086＝0.998.
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(完整word)高中数学第二章随机变量及其分布2.2.2事件的相互独立性学案
