2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2017年浙江，1，4分】已知P?{x|?1?x?1}，Q?{?2?x?0}，则PUQ?（ ）
（A）(?2,1) （B）(?1,0) （C）(0,1) （D）(?2,?1) 【答案】A
【解析】取P,Q所有元素，得PUQ?(?2,1)，故选A．
【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．
x2y2（2）【2017年浙江，2，4分】椭圆??1的离心率是（ ）
9413525（A） （B） （C） （D）
3339【答案】B
9?45【解析】e?，故选B． ?33【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． （3）【2017年浙江，3，4分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：
cm3）是（ ）
??3?3?（A）?1（B）?3（C）?1 （D）?3
2222
【答案】A 【解析】由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，
三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体
1??121π的体积为V??3?(??2?1)??1，故选A．
3222【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特
征，是基础题目．
?x?0?（4）【2017年浙江，4，4分】若x，y满足约束条件?x?y?3?0，则z?x?2y的取值范围是
?x?2y?0?（ ）
（A）?0,6? （B）?0,4?（C）?6,??? （D）?4,???
【答案】D
【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点?2,1?时取最小值4，无最大值，故选D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．
1?上的最大值是M，（5）【2017年浙江，5，4分】若函数f?x??x2?ax?b在区间?0，最小值是m，则M–m（ ） （A）与a有关，且与b有关 （B）与a有关，但与b无关
（C）与a无关，且与b无关 （D）与a无关，但与b有关 【答案】B
aa2【解析】解法一：因为最值在f(0)?b,f(1)?1?a?b,f(?)?b?中取，所以最值之差一定与b无关，故选B．
24aa解法二：函数f?x??x2?ax?b的图象是开口朝上且以直线x??为对称轴的抛物线，①当??1或
221
a即a??2，或a?0时，函数f?x?在区间?0,1?上单调，此时M?m?f?1??f?0??a，故M?m??0，2a?1a??a?的值与a有关，与b无关；②当???1，即?2?a??1时，函数f?x?在区间?0,??上递减，在??,1?2?22??2?2?a?a上递增，且f?0??f?1?，此时M?m?f?0??f????，故M?m的值与a有关，与b无关；③当
?2?4a?a1??a??，即?1?a?0时，函数f?x?在区间?0,??上递减，在??,1?上递增，且f?0??f?1?，此
2?22??2?a2?a?时M?m?f?0??f????a?，故M?m的值与a有关，与b无关．综上可得：M?m的值与a有关，
24??与b无关，故选B．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． （6）【2017年浙江，6，4分】已知等差数列?an?的公差为d，前n项和为Sn，则“d?0”是“S4?S6?2S5”的（ ）
0?? （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】由S4?S6?2S5?10a1?21d?2?5a1?10d??d，可知当d?0时，有S4?S6?2S5?0，即S4?S6?2S5，反之，若S4?S6?2S5，则d?0，所以“d?0”是“S4?S6?2S5”的充要条件，故选C．
【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题． （7）【2017年浙江，7，4分】函数y?f?x?的导函数y?f?(x)的图像如图所示，则函数y?f?x?的
图像可能是（ ）
（A）（B）（C）（D） 【答案】D 【解析】解法一：由当f??x??0时，函数f单调递减，当f??x??0时，函数f单调递增，则由导函数y?f??x? （x）（x）的图象可知：f?x?先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐
点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，，故选D．
解法二：原函数先减再增，再减再增，且x?0位于增区间内，故选D．
【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于
基础题．
1（8）【2017年浙江，8，4分】已知随机变量?1满足P??1?1??pi，P??1?0??1?pi，i?1,2．若0?p1?p2?，
2则（ ）
（A）E(?1)?E(?2)，D(?1)?D(?2)（B）E(?1)?E(?2)，D(?1)?D(?2)
（C）E(?1)?E(?2)，D(?1)?D(?2) （D）E(?1)?E(?2)，D(?1)?D(?2) 【答案】A
【解析】QE(?1)?p1,E(?2)?p2,?E(?1)?E(?2)QD(?1)?p1(1?p1),D(?2)?p2(1?p2)，
?D(?1)?D(?2)?(p1?p2)(1?p1?p2)?0，故选A．
【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象
能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
（9）【2017年浙江，9，4分】如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），PQR
BQCR分别为AB，BC，CA上的点，AP?PB，??2，分别记二面角D–PR–Q，
QCRAD–PQ–R，D–QR–P的平面较为?，?，?，则（ ）
（A）????? （B）????? （C）????? （D）????? 【答案】B
2
【解析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面?ABC的中心为O．不妨设OP?3．则
O?0,0,0?，P?0,?3,0?，C?0,?6,0?，D0,0,62，Q3,2,0，R?23,0,0， uuuruuuruuuruuurPR??23,3,0，PD?0,3,62，PQ?3,5,0，QR??33,?2,0，
ruuurruuur?n?PR?0?，可得 QD??3,?2,62．设平面PDR的法向量为n??x,y,z?，则?ruuur??n?PD?0urr???23x?3y?0，可得n?6,22,?1，取平面ABC的法向量m??0,0,1?． ???3y?62z?0urrurr13m?n1则cosm,n?u，取??arccos．同理可得：??arccos． rr??1568115mn??????????????????．∴?????．
951595681解法二：如图所示，连接OD，OQ，OR，过点O发布作垂线：OE?DR，OF?DQ，
SOE OG?QR，垂足分别为E，F，G，连接PE，PF，PG．设OP?h．则cos???ODR?S?PDRPE
OEOFOFOGOG???．同理可得：cos??c，cos??．
222222PFPGOE?hOF?hOG?h．∵????arccos2123由已知可得：OE?OG?OF．∴cos??cos??cos?，?，?，?为锐角．∴α＜γ＜β，故选B．
【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，
属于难题．
（10）【2017年浙江，10，4分】如图，已知平面四边形ABCD，AB?BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，
uuuruuuruuuruuuruuuruuurOB，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则（ ） AC与BD交于点O，记I1＝OA·（A）I1?I2?I3 （B）I1?I3?I2 （C）I3?I1?I2 （D）I2?I2?I3
【答案】C
【解析】∵AB?BC，AB?BC?AD?2，CD?3，∴AC?22，∴?AOB??COD?90?，
uuuruuuruuuruuuruuuruuur由图象知OA?OC，OB?OD，∴0?OA?OB?OC?OD，OB?OC?0，即I3?I1?I2，故选C．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
（11）【2017年浙江，11，4分】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算
到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将?的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S内，S内? ． 【答案】33 2【解析】如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，?AOB是边长为1的正三角形，
133． o?所以正六边形ABCDEF的面积为S内=6????1?1?sin60???2?2【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题．
2（12）【2017年浙江，12，6分】已知ab?R，则a2?b2? ，（a?bi）?3?4i（i是虚数单位）ab? ． 【答案】5；2
?a2?b2?3?a2?422【解析】由题意可得a?b?2abi?3?4i，则?，解得?2，则a2?b2?5,ab?2．
?ab?2?b?1【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
54321（13）【2017年浙江，13，6分】已知多项式?x?1??x?2??x?a1x?a2x?a3x?a4x?a5，则a4? ，
123
a5? ．
【答案】16；4
mmx，分别取r?0,m?1和r?1,m?0可得a4?4?12?16，令【解析】由二项式展开式可得通项公式为：C3rxrC2x?0可得a5?13?22?4．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．
（14）【2017年浙江，14，6分】已知?ABC，AB?AC?4， 点D为AB延长线上一点，BC?2．BD?2，
连结CD，则?BDC的面积是 ；cos?BDC? ．
1510【答案】；
24BE1【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：AE?BC,BF?CD，?ABE中，cos?ABC??，
AB41115115?cos?DBC??,sin?DBC?1??，?S△BCD??BD?BC?sin?DBC?．
41642211010又?cos?DBC?1?2sin2?DBF??,?sin?DBF?，?cos?BDC?sin?DBF?，
4441510综上可得，?BCD面积为，cos?BDC?．
24【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题． （15）【2017年浙江，15，6分】已知向量a，b满足a?1,b?2,则a?b?a?b的最小值是 __；最大
值是 __． 【答案】4；25 rrrr【解析】解法一：设向量a和b的夹角为?，由余弦定理有a?b?12?22?2?1?2?cos??5?4cos?，
rrrrrr22 a?b?1?2?2?1?2?cos??????5?4cos?，则a?b?a?b?5?4cos??5?4cos?，
rrrr 令y?5?4cos??5?4cos?，则y2?10?225?16cos2???16,20?，据此可得：a?b?a?b
maxrrrrrrrr?16?4，即a?b?a?b的最小值为4，最大值为25． ?20?25，a?b?a?bminrr解法二记?AOB??，则0????，如图，由余弦定理可得：a?b?5?4cos?， rra?b?5?4cos?，令x?5?4cos?，y?5?4cos?，则x2?y2?10?x,y?1?，
????其图象为一段圆弧MN，如图，令z?x?y，则y??x?z，则直线y??x?z过M、N 时z最小为zmin?1?3?3?1?4，当直线y??x?z与圆弧MN相切时z最大，由平面几 何知识易知zmax即为原点到切线的距离的2倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的2倍，
rrrr所以zmax?2?10?25．综上所述，a?b?a?b的最小值为4，最大值为25．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划
等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
（16）【2017年浙江，16，4分】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人
服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 中不同的选法．（用数字作答） 【答案】660
【解析】解法一：由题意可得：“从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队”中的
1111?C3?C3选择方法为：C84?C4种方法，其中“服务队中没有女生”的选法有C64?C4种方法，则满足题意
11411?C3?C6?C4?C3?660种． 的选法有：C84?C4解法二：第一类，先选1女3男，有C63C21?40种，这4人选2人作为队长和副队有A42?12种，故有
第二类，先选2女2男，有C62C22?15种，这4人选2人作为队长和副队有A42?12种， 40?12?480种，
故有15?12?180种，根据分类计数原理共有480?180?660种，故答案为：660．
【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题．
4
（17）【2017年浙江，17，4分】已知??R，函数f?x??x?4?a?a在区间?1,4?上的最大值是5，则a的取值 x范围是 ．
9【答案】(??,]
2444【解析】分类讨论：①当a?5时，f?x??a?x??a?2a?x?，函数的最大值2a?4?5，x??1,4?,x???4,5?，
xxx944?a?，舍去；②当a?4时，f?x??x??a?a?x??5，此时命题成立；③当4?a?5时，
xx2???4?a?a?5?a?a?4?a?a?5?a?afx?max4?a?a,5?a?a????，则：?4?a?a?5或：?5?a?a?5， ????max????9?99?或a?，综上可得，实数a的取值范围是???,?．
2?22?【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（x）?sin2x?cos2x?23sinxcosx?x?R?． （18）【2017年浙江，18，14分】已知函数f解得：a??2??（1）求f??的值；
3??（2）求f?x?的最小正周期及单调递增区间．
π???2???4ππ?解：（1）f?x??sin2x?cos2x?23sinxcosx??cos2x?3sin2x??2sin?2x??，f? ??2sin???2．??6???3??36?ππππ??（2）由f?x???2sin?2x??，f?x?的最小正周期为?．令2kπ??2x??2kπ?，k?Z，得
6?262?ππ?ππ?kπ??x?kπ?，k?Z，函数f?x?的单调递增区间为?kπ?，kπ??，k?Z.．
36?36?【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档． （19）【2017年浙江，19，15分】如图，已知四棱锥P–ABCD，?PAD是以AD为斜边的等腰直
角三角形，BC//AD，CD?AD，PC?AD?2DC?2CB，E为PD的中点． （1）证明：CE//平面PAB；
（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值． 解：解法一：
（1）取AD的中点F，连接EF，CF，∵E为PD的重点，∴EF//PA，在四边形ABCD中，
BC//AD，AD?2DC?2CB，F为中点易得CF//AB，∴平面EFC//平面ABP， QEC?平面EFC，?EC//平面PAB．
（2）连结BF，过F作FM?PB与M，连结PF，因为PA?PD，所以PF?AD，
易知四边形BCDF为矩形，所以BF?AD，所以AD?平面PBF，又AD//BC， 所以BC?平面PBF，所以BC?PB，设DC?CB?1，则AD?PC?2，所以PB?2，
1BF?PF?1，所以MF?，又BC?平面PBF，所以BC?MF，所以MF?平面
211即点F到平面PBC的距离为，也即点D到平面PBC的距离为，因为E为 PBC，
221PD的中点，所以点E到平面PBC的距离为，在?PCD中，PC?2，CD?1，PD?2，由余弦定
412理可得CE?2，设直线CE与平面PBC所成的角为?，则sin??4=．
CE8解法二：
（1）略；构造平行四边形．
（2）过P作PH?CD，交CD的延长线于点H在RtVPDH中，设DH?x，则易知
5
(完整版)2017年高考浙江数学试题及答案(word解析版)
