1．（本小题满分14分） 已知f(x)=
2x?a(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数. 2x?21的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得x（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A； （Ⅱ）设关于x的方程f(x)=
不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.
本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论
思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.
4?2ax?2x2?2(x2?ax?2)解：（Ⅰ）f＇(x)== ， 2222(x?2)(x?2)∵f(x)在[－1，1]上是增函数， ∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，
即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ① 设?(x)=x2－ax－2， 方法一：
?(1)=1－a－2≤0， ① ? ?－1≤a≤1， ?(－1)=1+a－2≤0.
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}. 方法二： aa≥0， <0， 22①? 或
?(－1)=1+a－2≤0 ?(1)=1－a－2≤0
? 0≤a≤1 或 －1≤a≤0 ? －1≤a≤1.
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=-1时，f＇
(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}. （Ⅱ）由
2x?a122
=，得x－ax－2=0， ∵△=a+8>0 2x?2x∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根， x1+x2=a，
22∴ 从而|x1－x2|=(x1?x2)?4x1x2=a?8.
x1x2=－2，
∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=a?8≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立， 即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ② 设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)， 方法一：
g(－1)=m2－m－2≥0， ② ?
g(1)=m2+m－2≥0，
2?m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}. 方法二：
当m=0时，②显然不成立； 当m≠0时，
m>0， m<0， ②? 或
g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0
? m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
2．（本小题满分12分）
如图，P是抛物线C：y=C交于另一点Q.
（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求
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x上一点，直线l过点P且与抛物线2|ST||ST|的取值范围. ?|SP||SQ|本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想
和综合解题能力.满分12分.
解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0. 由y=
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x， ① 2得y＇=x.
∴过点P的切线的斜率k切= x1， ∴直线l的斜率kl=－
11=-， k切x1121x1=－ (x－x1)， 2x1∴直线l的方程为y－
方法一：
联立①②消去y，得x2+∵M是PQ的中点 x0=
∴
y0=
2x－x12－2=0. x1x1?x21=-， 2x1121x1－(x0－x1). 2x1消去x1，得y0=x02+
12x02+1(x0≠0)，
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+方法二： 由y1=
12x02+1(x≠0).
x?x2121x1，y2=x22，x0=1， 22212121x1－x2=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)， 222得y1－y2=则x0=
y1?y21=kl=-，
x1?x2x11， x0∴x1=－
将上式代入②并整理，得 y0=x02+
12x02+1(x0≠0)，
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+
12x02+1(x≠0).
（Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).
分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则
|ST||ST||OT||OT||b||b|??. ?????|SP||SQ||PP||QQ||y1||y2| y=
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x 2由 消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0. ③ y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，
则
y1y2=b2.
方法一： ∴
|ST||ST|11??|b|(?)≥2|b||SP||SQ|y1y211=2|b|=2. 2by1y2∵y1、y2可取一切不相等的正数，
∴
|ST||ST|的取值范围是（2，+?）. ?|SP||SQ|方法二：
y1?y22(k2?b)|ST||ST|∴=|b|=|b|. ?|SP||SQ|y1y2b2|ST||ST|2(k2?b)2(k2?b)2k2?当b>0时，=b==+2>2； 2b|SP||SQ|bb2(k2?b)2(k2?b)|ST||ST|?当b<0时，=－b=. 2|SP||SQ|?bb又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0， 于是k2+2b>0，即k2>－2b. 所以
|ST||ST|2(?2b?b)?>=2.
?b|SP||SQ|2k2∵当b>0时，可取一切正数，
b∴
|ST||ST|?的取值范围是（2，+?）. |SP||SQ|方法三：
由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP， 即
y2?by1?b=. x2x1则x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).
x2?于是b=
1212x1?x1?x2122=－x1x2.
x2?x1211|?x1x2||?x1x2|xx|ST||ST||b||b|22?∴==+=|2|+|1|≥2. ?|SP||SQ||y1||y2|x1x22 12 1∵|x2|可取一切不等于1的正数， x1
高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解(4)
