刚体力学基础习题思考题

5-11. 如图所示，滑轮转动惯量为0.01kg?m，半径为7cm；物体的质量为5kg，用一细绳与劲度系数k?200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离。(2)物体的速度达最大值时的位置及最大速率。

（1）机械能守恒。 设下落最大距离为h

212kh?mgh 22mg h??0.49m

k121212（2）kx?mv?J??mgx

222

??2?2mgx?kx?

v??J?m???r2??dv若速度达最大值，?0

dx

12x?

mg?0.245(m) k1212?????2?5?9.8?0.245?200?0.2452?2mgx?kx2??v??????1.31m/s J?0.01m?2?5?????22?r?(7?10)??

5-12. 设电风扇的功率恒定不变为P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度?成正比，比例系数的k，并已知叶片转子的总转动惯量为J。（1）原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？

解：（1）通电时根据转动定律有 M?Mr?Jd? dt M?P? Mr?k?

t?J? 代入两边积分 ?dt??d?

00P?k?2

???tP(1?eJ) k2k（2）电扇稳定转动时的转速 ?m?（3） ?k??J?P k?0d?k ??d???d?

0?md?J ??JkP k5-13. 如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为?，细绳的一端系住物体A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以?0绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多大？物体A运动后，细绳的张力多大？

解：细绳刚绷紧时系统机械能守恒

1112J?0?J?2?mv2 v?R? 2221v?R?0

3T??mg?ma ?TR?J?

T?

?mg3 a?R?

5-14. 质量为m的小孩站在半径为R、转动惯量为J的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度?为多少？

解：此过程角动量守恒 0?mrv?J?

??mRv J5-15. 以速度v0作匀速运动的汽车上，有一质量为m（m较小），边长为l的立方形货物箱，如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，货物箱绕其底面A边翻转。试求：（1）汽车刹车停止瞬时，货物箱翻转的角速度及角加速度；（2）此时，货物箱A边所受的支反力。

解：（1）角动量守恒 mv0根据转动定律 mg3vl22?ml? ??0

4l23l223g ?ml? ??234l00（2）Nx?macx?macncos45?mactcos45

思考题

5-1. 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量m1和

m2的物体 (m1

则绳的张力多大？

m1g?T1?m1a （1）

T2?m2g?m2a （2） 插入图5-29

(T1?T2)r?J? （3）

a?r? (4)

联立方程可得 T1、T2。 T2?T1

5-2. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度?按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度?怎样变化？

答：增大 5-3. 个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的： （A）机械能守恒,角动量守恒;（B）机械能守恒,角动量不守恒, （C）机械能不守恒,角动量守恒;（D）机械能不守恒,角动量不守恒.

答：（C）

5-4. 在边长为a的六边形顶点上，分别固定有质量都是m的6个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量：（1）设转轴Ⅰ、Ⅱ在质点所在的平面内，如图a所示；（2）设转轴Ⅲ垂直于质点所在的平面，如图b所示。

以Ⅰ为轴转动惯量 J?9ma 以Ⅱ为轴转动惯量 J?3ma 以Ⅲ为轴转动惯量 J?7.5ma

5-5. 如图a所示，半径分别是R1和R2、转动惯量分别是J1和J2的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为?0，现在将小圆柱体向左靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。

试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最终角速度多大？ 答：角动量守恒，摩擦力的力矩为0。 J1?0?J2?

222??J1?0J

25-6. 均质细棒的质量为M，长为L，开始时处于水平方位，静止于支点O上。一锤子沿竖直方向在x?d处撞击细棒，给棒的冲量为I0j。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。 答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。