5-1. 如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。
解：受力分析如图
22mg?T2?2ma （1） T1?mg?ma （2）
(T2?T1)r?J? （3） (T?T1)r?J? （4）
a?r? (5)
联立 a?
5-2. 如图所示,一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为?的水平桌面上,设开始时杆以角速度?0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求:（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 （1） 设杆的线??111g， T?mg 48m，在杆上取一小质元dm??dx ldf??dmg???gdx
dM???gxdx 考虑对称 1M?2???gxdx??mgl
4（2） 根据转动定律M?J??Jl20d? dt
?t0?Mdt??Jd?
w00 ?11?mglt??ml2?0 412 所以 t??0l 3?g
5-3. 如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R ,其转动惯量为MR/2，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。
2mg?T?ma?mTR?J?
dv dtdv?R? dt1dvM)?mg 2dtvtmmgt ?dv?? gdt v?001Mm?Mm?22整理 (m?
5-4. 轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物，如图。已知滑轮对O轴的转动惯量J?MR/4，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？
解：选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重 物上升的速度，系统对轴的角动量
2L?
MMvR?M(u?v)R?(R2)?44
3?MvR?MuR2根据角动量定理 M?dL dt3d3MgR?(MvR?MuR) 4dt2du33dv3?0 MgR?MR?MRa dt42dt2g所以 a?
2
5-5. 计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。
证明：设球的半径为R，总重量为m，体密度??3m， 34?R将球体划分为许多厚度为dZ的圆盘， 则盘的体积为 ?(R2?Z2)2dZ
21R8?222J????(R?Z)dZ??R5?mR2
2?R155
5-6. 一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数k?40N/m，当??0o时弹簧无形变，细棒的质量m?5.0kg，求在??0o的位置上细棒至少应具有多大的角速度?，才能转动到水平位置？
解：机械能守恒
mg111?J?2?kx2 222222?1 根据几何关系 (x?0.5)?1.5?1 ??3.28rad?s
5-7. 如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：
（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。
解：在虚线位置的C点设为重力势能的零点，下降过程
机械能守恒
mgR?11J?2 J?mR2?mR2 224Rg 3??4g vc?R??3RvA?2R??16Rg 3 Fy?mg?mR?2?7mg 方向向上 3135-8. 如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平
2l．轻杆原来静止在竖直位置。31今有一质量为m的小球，以水平速度v0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以v0的速度返
2光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l和回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。
解：根据角动量守衡 有
22ll21mv0l?()2m??()2?2m??ml?v0 33332 ??3v0 2l5-9. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为?)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：(1)子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；(2)经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为
1MR2，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 21MR2??mR2? 22mv ??
(2m?M)RRM2（2）M??dM???dmgr???gr2πrdr??MgR 20?R3 解（1）角动量守恒 mvR?2?M?2m?2122R? ?MgR??t?(MR?mR)??0，??t?4?Mg32由（1）已得：??2mv3mv，代入即得?t?
2?Mg?M?2m?R
5-10. 有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。
(已知棒绕O点的转动惯量J? 碰撞时角动量守恒
1m1l2) 31m2v1l?m1l2??m2v2l
3??3m2(v1?v2)
m1l细棒运动起来所受到的摩擦力矩
M???0lm11gxdx??m1gl l2?M?Jd? dt12ml1d?t3 dt???01?m1gl22l?2m2(v1?v2)? 3?g?m1gt?
刚体力学基础习题思考题
