习 题
3-1 复摆重P,对质心的回转半径为?C,质心距转动轴的距离为a,复摆由水平位置无初速地释放,列写复摆的运动微分方程。
解:系统具有一个自由度,选复摆转角?为广义坐标,原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下,根据刚体绕定轴转动微分方程 其中
???MO JO?题3-1图
JO?P2(?C?a2) g得到复摆运动微分方程为 或
3-2均质半圆柱体,质心为C,与圆心O1的距离为e,柱体半径为R,质量为m,对质心的回转半径为?C,在固定平面上作无滑动滚动,如题3-2图所示,列写该系统的运动微分方程。
题3-2图
P2???Pacos? (?C?a2)?g2???gacos??0 (?C?a2)?解:系统具有一个自由度,选?为广义坐标。 半圆柱体在任意位置的动能为:
T?121mvC?JC?2 22用瞬心法求vC:
2?)2?(e2?R2?2Recos?)??2 vC?(CC*?? ???2JC?m?C
故
T?1?2?1m?2??2 m(e2?R2?2Recos?)?C22系统具有理想约束,重力的元功为
?W??mgesin?d? dT??W
应用动能定理的微分形式
?1?2?1m?2??2???mgesin?d? d?m(e2?R2?2Recos?)?C?2?2?等式两边同除dt,
222???d???mRed??2mReco?s???2sin?d???mgesin?d? m(e?R??C)?222???????mRe?2sin???mge? ???2mReco?s????sin?? m(e?R??C)????0,等式两边同除??
故微分方程为
222??2sins??C)???mRe???mgesin??0 m(e?R?2Reco?①
若为小摆动sin???,cos??1,并略去二阶以上微量,上述非线性微分方程可线性化,系统微摆动的微分方程为
2?[(R?r)2??C]???ge??0
要点及讨论
(1)本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图(b)所示。列写微分方程
?m??C??Fx②??C?N?mgy③ ?m??2??④?m?C??F(R?ecos?)?Nesin???,F,N五个未知量,必须补充运动学关系才能求解。建?,??,?xy上述方程包含?CC立质心坐标与广义坐标?之间的关系
?xC?R??esin?, ??yC?R?ecos???ecos????x?C?R? ???y?esin???C所以
???ecos?????esin???2??C?R?x??????ecos???2?C?esin???y??⑤⑥
运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立,消去未知约束力N,F,就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。
因为在理想约束的情况下,未知约束力在动能定理的表达式中并不出现,所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。
(2)本题也可用机械能守恒定律求解。 系统的动能
T?1?2?1m?2??2 m(e2?R2?2Reco?s)?C22选半圆柱体中心O1所在平面为零势面,系统的势能 由
V??mgecos?
T?V?E
1?2?1m?2??2?mgecos??E m(e2?R2?2Recos?)?C22两边对时间t求导数,即可得到与式①相同的运动微分方程。
3-3 均质杆AB,长l,质量为m,沿光滑墙面滑下,如题3-3图所示。设水平面也为光
滑的。列写该系统的运动微分方程。
题3-3图
解:系统具有一个自由度,选?为广义坐标。系统在任一位置的动能为
T?由瞬心法求质心的速度
121mvC?JC?2 22所以
l1?,JC?ml2,???? vC??21211?2 T??ml2?23系统的主动力图为图(a)所示。重力的元功为
?W?mg?drC?mgsin?d?
由动能定理 所以
l2dT??W
d(??1122l?)?mgsin?d? ?ml?2323gsin??0 2l1JC*?2计算刚体动能,式中JC*?JC?md2为刚体对2系统的运动微分方程为
??要点及讨论
(1)平面运动刚体可用式T?瞬心的转动惯量,d为质心与瞬心间的距离。
222?C?C?y在本题中质心的速度vC也可用式vC?x计算。其中
l?x??C2sin? ?l?yC?cos??2l???co?x?s?C2? ?l?y?sin?C?????2(2)所谓广义坐标应包含坐标值(线位移或角位移)、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的,例如在本题中也可选杆与水平线的夹角?为广义坐标,正方向如图(b)所示(顺时针),广义坐标选定后其它运动量(位移及位移的一阶、二阶导数)都根据广义坐标确定(包括大小与正方向)。如质心C的位移与速度,正方向应如图所示,大小分别为
系统的动能
llvC???,drC?d?
22T?112?2?ml? 23l2主动力的元功
?W??mgcos?d?
11?2)??mglcos?d? d(?ml2?232?????根据动能定理建立的方程为 所以
3gcos? 2l??为负,即反时针方向。 “—”号说明当?取正值时?
(3)本题也可用平面运动微分方程求解,读者试列出方程。
3-4 如题3-4图所示,均质圆柱体质量为m,半径为r,沿倾斜角为?的三角块作无滑动滚动,质量为M的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动微分方程。
题3-4图
解:系统具有两个自由度,选x、xr为广义坐标。系统具有理想约束,且在水平方向的外力为零,所以系统机械能守恒:
T?V?E
11112xr2222T?Mx?m[(x?xrcos?)?(xrsin?)]??mr?22222r
1111??Mx2??mx2??mxr2?mxxrcos??mxr2 2224131?Mx2?mxr2?mx2?mxxrcos? 242V??mgxrsin?
,水平方向动量守恒。px?C
??m(x??x?rcos?)?C Mx整理后可分别列写两个方程
1132?2??mx?r?mx?x?rcos??mgxrsin??E ① (M?m)x222??m(x??x?rcos?)?C Mx②
式中①②为系统微分方程的首次积分,对时间t求导后,即可得到系统运动微分方程。
3(m?M)gsin?[?1]x??0 2mcos2?cos?要点及讨论
(1)在理想约束的情况下,动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系,直接给出了系统的速度(或角速度)与位移(或角位移)之间的关系,对时间t求导一次可得到系统的运动微分方程。
(2)用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为:
①分析系统受力,在理想约束的情况下只有主动力作功,所以一般在受力图上只画主动力。
②建立广义坐标,确定其原点和正方向;分析系统运动,重点是分析速度(角速度),将速度(角速度)用广义速度表示。
③计算系统在任意位置的动能,将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。
④计算力的功,若用积分形式动能定理,则计算主动力在有限路程上的功,若用微分形式的动能定理,则计算力的元功。
⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。
(3)在理想约束、主动力又为势力的情况下,可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。
(4)对于多自由度系统,如两个自由度系统,动能定理只给出一个方程,必须与其他定理,如动量定理或动量矩定理联合应用,才能得到另外一个方程。
第3章--振动系统的运动微分方程题解
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