习 题
3-1 复摆重P，对质心的回转半径为?C，质心距转动轴的距离为a，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。
解:系统具有一个自由度，选复摆转角?为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 其中
???MO JO?题3-1图
JO?P2(?C?a2) g得到复摆运动微分方程为 或
3-2均质半圆柱体，质心为C，与圆心O1的距离为e，柱体半径为R，质量为m，对质心的回转半径为?C，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。
题3-2图
P2???Pacos? (?C?a2)?g2???gacos??0 (?C?a2)?解：系统具有一个自由度，选?为广义坐标。 半圆柱体在任意位置的动能为：
T?121mvC?JC?2 22用瞬心法求vC：
2?)2?(e2?R2?2Recos?)??2 vC?(CC*?? ???2JC?m?C
故
T?1?2?1m?2??2 m(e2?R2?2Recos?)?C22系统具有理想约束，重力的元功为
?W??mgesin?d? dT??W
应用动能定理的微分形式
?1?2?1m?2??2???mgesin?d? d?m(e2?R2?2Recos?)?C?2?2?等式两边同除dt，
222???d???mRed??2mReco?s???2sin?d???mgesin?d? m(e?R??C)?222???????mRe?2sin???mge? ???2mReco?s????sin?? m(e?R??C)????0，等式两边同除??
故微分方程为
222??2sins??C)???mRe???mgesin??0 m(e?R?2Reco?①
若为小摆动sin???，cos??1，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为
2?[(R?r)2??C]???ge??0
要点及讨论
（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b）所示。列写微分方程
?m??C??Fx②??C?N?mgy③ ?m??2??④?m?C??F(R?ecos?)?Nesin???，F，N五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建?，??，?xy上述方程包含?CC立质心坐标与广义坐标?之间的关系
?xC?R??esin?， ??yC?R?ecos???ecos????x?C?R? ???y?esin???C所以
???ecos?????esin???2??C?R?x??????ecos???2?C?esin???y??⑤⑥
运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力N，F，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。
因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。
（2）本题也可用机械能守恒定律求解。 系统的动能
T?1?2?1m?2??2 m(e2?R2?2Reco?s)?C22选半圆柱体中心O1所在平面为零势面，系统的势能 由
V??mgecos?
T?V?E
1?2?1m?2??2?mgecos??E m(e2?R2?2Recos?)?C22两边对时间t求导数，即可得到与式①相同的运动微分方程。
3-3 均质杆AB，长l，质量为m，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。设水平面也为光
滑的。列写该系统的运动微分方程。
题3-3图
解：系统具有一个自由度，选?为广义坐标。系统在任一位置的动能为
T?由瞬心法求质心的速度
121mvC?JC?2 22所以
l1?，JC?ml2，???? vC??21211?2 T??ml2?23系统的主动力图为图（a）所示。重力的元功为
?W?mg?drC?mgsin?d?
由动能定理 所以
l2dT??W
d(??1122l?)?mgsin?d? ?ml?2323gsin??0 2l1JC*?2计算刚体动能，式中JC*?JC?md2为刚体对2系统的运动微分方程为
??要点及讨论
（1）平面运动刚体可用式T?瞬心的转动惯量，d为质心与瞬心间的距离。
222?C?C?y在本题中质心的速度vC也可用式vC?x计算。其中
l?x??C2sin? ?l?yC?cos??2l???co?x?s?C2? ?l?y?sin?C?????2（2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角?为广义坐标，正方向如图（b）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为
系统的动能
llvC???，drC?d?
22T?112?2?ml? 23l2主动力的元功
?W??mgcos?d?
11?2)??mglcos?d? d(?ml2?232?????根据动能定理建立的方程为 所以
3gcos? 2l??为负，即反时针方向。 “—”号说明当?取正值时?
（3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。
3-4 如题3-4图所示，均质圆柱体质量为m，半径为r，沿倾斜角为?的三角块作无滑动滚动，质量为M的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动微分方程。
题3-4图
解：系统具有两个自由度，选x、xr为广义坐标。系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒：
T?V?E
11112xr2222T?Mx?m[(x?xrcos?)?(xrsin?)]??mr?22222r
1111??Mx2??mx2??mxr2?mxxrcos??mxr2 2224131?Mx2?mxr2?mx2?mxxrcos? 242V??mgxrsin?
，水平方向动量守恒。px?C
??m(x??x?rcos?)?C Mx整理后可分别列写两个方程
1132?2??mx?r?mx?x?rcos??mgxrsin??E ① (M?m)x222??m(x??x?rcos?)?C Mx②
式中①②为系统微分方程的首次积分，对时间t求导后，即可得到系统运动微分方程。
3(m?M)gsin?[?1]x??0 2mcos2?cos?要点及讨论
（1）在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间t求导一次可得到系统的运动微分方程。
（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为：
①分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动力。
②建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。
③计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。
④计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。
⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。
（3）在理想约束、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。
（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。
第3章--振动系统的运动微分方程题解
